Решить

Давайте подробно разберем решения задач из предоставленного задания, направленного на решение дробных рациональных уравнений. ### Вариант 1: #### Задача 1: Уравнение: \[ \frac{x-5}{4x-1} = \frac{3x-1}{2} \] **Шаг 1:** Найдем общий знаменатель и избавимся от дробей. Умножим обе стороны уравнения на \(2(4x-1)\), чтобы исключить дроби: \[ 2(x-5) = (3x-1)(4x-1) \] **Шаг 2:** Раскроем скобки. Левая часть: \[ 2x - 10 \] Правая часть: \[ 3x(4x) - 3x - 1 \cdot 4x + 1 = 12x^2 - 3x - 4x + 1 = 12x^2 - 7x + 1 \] Теперь уравнение: \[ 2x - 10 = 12x^2 - 7x + 1 \] **Шаг 3:** Приведем к стандартной форме квадратного уравнения. \[ 12x^2 - 9x + 11 = 0 \] **Шаг 4:** Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Здесь \(a = 12\), \(b = -9\), \(c = 11\). \[ D = (-9)^2 - 4 \times 12 \times 11 = 81 - 528 = -447 \] Так как \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. #### Задача 2: Уравнение: \[ \frac{x}{3} - \frac{5}{3} = 2 \] **Шаг 1:** Найдем общий знаменатель и избавимся от дробей. Умножим обе стороны уравнения на 3: \[ x - 5 = 6 \] **Шаг 2:** Решим уравнение. \[ x = 6 + 5 = 11 \] Ответ: \(x = 11\). ### Вариант 2: #### Задача 1: Уравнение: \[ \frac{4x-1}{x-2} = 3x - 5 \] **Шаг 1:** Найдем общий знаменатель и избавимся от дробей. Умножаем обе стороны на \(x-2\): \[ 4x - 1 = (3x - 5)(x - 2) \] **Шаг 2:** Раскроем скобки. Правая часть: \[ 3x^2 - 6x - 5x + 10 = 3x^2 - 11x + 10 \] Теперь уравнение: \[ 4x - 1 = 3x^2 - 11x + 10 \] **Шаг 3:** Приведем к стандартной форме квадратного уравнения. \[ 3x^2 - 15x + 11 = 0 \] **Шаг 4:** Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант \(D\). Здесь \(a = 3\), \(b = -15\), \(c = 11\). \[ D = (-15)^2 - 4 \times 3 \times 11 = 225 - 132 = 93 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{93}}{6} \] Ответ: действительные корни \(x = \frac{15 \pm \sqrt{93}}{6}\). #### Задача 2: Уравнение: \[ \frac{x+3}{3} = \frac{2x + 1}{x-2} \] **Шаг 1:** Найдем общий знаменатель и избавимся от дробей. Умножим обе стороны на \(3(x-2)\): \[ (x+3)(x-2) = 3(2x + 1) \] **Шаг 2:** Раскроем скобки. Левая часть: \[ x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6 \] Правая часть: \[ 6x + 3 \] Теперь уравнение: \[ x^2 + x - 6 = 6x + 3 \] **Шаг 3:** Приведем к стандартной форме квадратного уравнения. \[ x^2 - 5x - 9 = 0 \] **Шаг 4:** Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант \(D\). Здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -9\). \[ D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-9) = 25 + 36 = 61 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2} \] Ответ: корни \(x = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}\).