решить

Давайте подробно разберем решения задач из предоставленного задания, направленного на решение дробных рациональных уравнений.

Вариант 1:

Задача 1:

Уравнение:

\[ \frac{x-5}{4x-1} = \frac{3x-1}{2} \]

Шаг 1: Найдем общий знаменатель и избавимся от дробей.
Умножим обе стороны уравнения на \(2(4x-1)\), чтобы исключить дроби:

\[ 2(x-5) = (3x-1)(4x-1) \]

Шаг 2: Раскроем скобки.
Левая часть: \[ 2x - 10 \]

Правая часть: \[ 3x(4x) - 3x - 1 \cdot 4x + 1 = 12x^2 - 3x - 4x + 1 = 12x^2 - 7x + 1 \]

Теперь уравнение: \[ 2x - 10 = 12x^2 - 7x + 1 \]

Шаг 3: Приведем к стандартной форме квадратного уравнения.

\[ 12x^2 - 9x + 11 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Здесь \(a = 12\), \(b = -9\), \(c = 11\).

\[ D = (-9)^2 - 4 \times 12 \times 11 = 81 - 528 = -447 \]

Так как \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней.

Задача 2:

Уравнение:

\[ \frac{x}{3} - \frac{5}{3} = 2 \]

Шаг 1: Найдем общий знаменатель и избавимся от дробей.
Умножим обе стороны уравнения на 3:

\[ x - 5 = 6 \]

Шаг 2: Решим уравнение.

\[ x = 6 + 5 = 11 \]

Ответ: \(x = 11\).

Вариант 2:

Задача 1:

Уравнение:

\[ \frac{4x-1}{x-2} = 3x - 5 \]

Шаг 1: Найдем общий знаменатель и избавимся от дробей.
Умножаем обе стороны на \(x-2\):

\[ 4x - 1 = (3x - 5)(x - 2) \]

Шаг 2: Раскроем скобки.
Правая часть: \[ 3x^2 - 6x - 5x + 10 = 3x^2 - 11x + 10 \]

Теперь уравнение: \[ 4x - 1 = 3x^2 - 11x + 10 \]

Шаг 3: Приведем к стандартной форме квадратного уравнения.

\[ 3x^2 - 15x + 11 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Используем дискриминант \(D\).

Здесь \(a = 3\), \(b = -15\), \(c = 11\).

\[ D = (-15)^2 - 4 \times 3 \times 11 = 225 - 132 = 93 \]

Корни:

\[ x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{93}}{6} \]

Ответ: действительные корни \(x = \frac{15 \pm \sqrt{93}}{6}\).

Задача 2:

Уравнение:

\[ \frac{x+3}{3} = \frac{2x + 1}{x-2} \]

Шаг 1: Найдем общий знаменатель и избавимся от дробей.
Умножим обе стороны на \(3(x-2)\):

\[ (x+3)(x-2) = 3(2x + 1) \]

Шаг 2: Раскроем скобки.
Левая часть: \[ x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6 \]

Правая часть: \[ 6x + 3 \]

Теперь уравнение: \[ x^2 + x - 6 = 6x + 3 \]

Шаг 3: Приведем к стандартной форме квадратного уравнения.

\[ x^2 - 5x - 9 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Используем дискриминант \(D\).

Здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -9\).

\[ D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-9) = 25 + 36 = 61 \]

Корни:

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2} \]

Ответ: корни \(x = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}\).