Для решения данной задачи будем использовать модели биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (4 батарейки), каждая из которых может быть либо бракованной, либо нормальной, с вероятностью успеха (в данном случае - бракованная).
1. Построение ряда распределения
Обозначим случайную величину ( X ) как количество бракованных батареек среди 4 случайно выбранных. Так как шанс того, что батарейка бракованная, равен 5% (или 0.05), а нормальной 95% (или 0.95), мы можем описать число бракованных батареек с помощью биномиального распределения:
- n = 4 (количество испытаний)
- p = 0.05 (вероятность, что батарейка бракованная)
Ряд распределения случайной величины ( X ) можно выразить следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) - это биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
2. Вычисление вероятностей
Теперь вычислим вероятности для всех возможных значений ( X ) от 0 до 4:
Для ( X = 0 ) (0 бракованных батареек):
[
P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.05)^0 \cdot (0.95)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.8145 \approx 0.8145
]
Для ( X = 1 ) (1 бракованная батарейка):
[
P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.05)^1 \cdot (0.95)^3 = 4 \cdot 0.05 \cdot 0.8574 \approx 0.1715
]
Для ( X = 2 ) (2 бракованные батарейки):
[
P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.05)^2 \cdot (0.95)^2 = 6 \cdot 0.0025 \cdot 0.9025 \approx 0.0135
]
Для ( X = 3 ) (3 бракованные батарейки):
[
P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.05)^3 \cdot (0.95)^1 = 4 \cdot 0.000125 \cdot 0.95 \approx 0.000475
]
Для ( X = 4 ) (4 бракованные батарейки):
[
P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0.05)^4 \cdot (0.95)^0 = 1 \cdot 0.00000625 \cdot 1 \approx 0.00000625
]
3. Ряд распределения
Подводя итоги, получаем следующий ряд распределения:
[
\begin{align*}
P(X = 0) & \approx 0.8145 \
P(X = 1) & \approx 0.1715 \
P(X = 2) & \approx 0.0135 \
P(X = 3) & \approx 0.000475 \
P(X = 4) & \approx 0.00000625 \
\end{align*}
]
4. Полигон распределения
Для построения полигона распределения просто на графике по оси X откладываем значения ( X ), а по оси Y - соответствующие вероятности. Соединим точки линиями.
5. Математическое ожидание
Математическое ожидание ( E(X) ) для биномиально распределенной случайной величины рассчитывается по формуле:
[
E(X) = n \cdot p
]
Подставляем наши значения:
[
E(X) = 4 \cdot 0.05 = 0.2
]
Ответы
Теперь вы имеете полное представление о распределении случайной величины и можете использовать информацию для дальнейшего анализа!
