Завод выпускает 5% бракованных батареек. Случайным образом из партии выбирают 4 батарейки. Постройте ряд распределения случайной величины X - количество бракованных батареек среди…

Для решения данной задачи будем использовать модели биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (4 батарейки), каждая из которых может быть либо бракованной, либо нормальной, с вероятностью успеха (в данном случае - бракованная).

1. Построение ряда распределения

Обозначим случайную величину \( X \) как количество бракованных батареек среди 4 случайно выбранных. Так как шанс того, что батарейка бракованная, равен 5% (или 0.05), а нормальной 95% (или 0.95), мы можем описать число бракованных батареек с помощью биномиального распределения:

• n = 4 (количество испытаний)
• p = 0.05 (вероятность, что батарейка бракованная)

Ряд распределения случайной величины \( X \) можно выразить следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где \( C(n, k) \) - это биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

2. Вычисление вероятностей

Теперь вычислим вероятности для всех возможных значений \( X \) от 0 до 4:

• Для \( X = 0 \) (0 бракованных батареек): \[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.05)^0 \cdot (0.95)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.8145 \approx 0.8145 \]

• Для \( X = 1 \) (1 бракованная батарейка): \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.05)^1 \cdot (0.95)^3 = 4 \cdot 0.05 \cdot 0.8574 \approx 0.1715 \]

• Для \( X = 2 \) (2 бракованные батарейки): \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.05)^2 \cdot (0.95)^2 = 6 \cdot 0.0025 \cdot 0.9025 \approx 0.0135 \]

• Для \( X = 3 \) (3 бракованные батарейки): \[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.05)^3 \cdot (0.95)^1 = 4 \cdot 0.000125 \cdot 0.95 \approx 0.000475 \]

• Для \( X = 4 \) (4 бракованные батарейки): \[ P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0.05)^4 \cdot (0.95)^0 = 1 \cdot 0.00000625 \cdot 1 \approx 0.00000625 \]

3. Ряд распределения

Подводя итоги, получаем следующий ряд распределения:

\[ \begin{align*} P(X = 0) & \approx 0.8145 \\ P(X = 1) & \approx 0.1715 \\ P(X = 2) & \approx 0.0135 \\ P(X = 3) & \approx 0.000475 \\ P(X = 4) & \approx 0.00000625 \\ \end{align*} \]

4. Полигон распределения

Для построения полигона распределения просто на графике по оси X откладываем значения \( X \), а по оси Y - соответствующие вероятности. Соединим точки линиями.

5. Математическое ожидание

Математическое ожидание \( E(X) \) для биномиально распределенной случайной величины рассчитывается по формуле: \[ E(X) = n \cdot p \] Подставляем наши значения: \[ E(X) = 4 \cdot 0.05 = 0.2 \]

Ответы

• Ряд распределения:

  • \( P(X = 0) \approx 0.8145 \)
  • \( P(X = 1) \approx 0.1715 \)
  • \( P(X = 2) \approx 0.0135 \)
  • \( P(X = 3) \approx 0.000475 \)
  • \( P(X = 4) \approx 0.00000625 \)

• Математическое ожидание \( E(X) = 0.2 \).

Теперь вы имеете полное представление о распределении случайной величины и можете использовать информацию для дальнейшего анализа!