Какими реккурентными соотношениями определяется прогрессия

Прогрессия — это последовательность чисел, где каждое число (член) определяется по определенному правилу. Наиболее известные виды прогрессий — арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия. Рассмотрим каждую из них и их рекуррентные соотношения.

1. Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой разность между любыми двумя подряд идущими членами постоянна.

Обозначение: Пусть \( a_n \) — n-й член последовательности, а \( d \) — разность (шаг).

Рекуррентное соотношение: \[ a_n = a_{n-1} + d \] где

• \( a_1 \) — первый член (начальное значение),
• \( d \) — постоянная разность.

Пример: Если \( a_1 = 2 \) и \( d = 3 \), то:

• \( a_2 = 2 + 3 = 5 \)
• \( a_3 = 5 + 3 = 8 \)
• \( a_4 = 8 + 3 = 11 \)

2. Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой отношение между любыми двумя подряд идущими членами постоянно.

Обозначение: Пусть \( b_n \) — n-й член последовательности, а \( r \) — общее отношение.

Рекуррентное соотношение: \[ b_n = b_{n-1} \cdot r \] где

• \( b_1 \) — первый член (начальное значение),
• \( r \) — постоянное отношение.

Пример: Если \( b_1 = 3 \) и \( r = 2 \), то:

• \( b_2 = 3 \cdot 2 = 6 \)
• \( b_3 = 6 \cdot 2 = 12 \)
• \( b_4 = 12 \cdot 2 = 24 \)

Вывод

Итак, рекуррентные соотношения для прогрессий таковы:

• Для арифметической прогрессии: \( a_n = a_{n-1} + d \)
• Для геометрической прогрессии: \( b_n = b_{n-1} \cdot r \)

Эти соотношения позволяют определять каждый следующий член последовательности, зная предыдущий.