Реши

Давайте рассмотрим каждое задание по порядку: ### 1. Является ли пара чисел (1; -3) решением системы уравнений? Система уравнений: \[ \begin{cases} 4x + y = 10 \\ x + 3y = -3 \end{cases} \] Подставим \(x = 1\) и \(y = -3\) в каждое уравнение: 1. \(4x + y = 10\) \[ 4(1) + (-3) = 4 - 3 = 1 \neq 10 \] 2. \(x + 3y = -3\) \[ 1 + 3(-3) = 1 - 9 = -8 \neq -3 \] Пара чисел (1; -3) не является решением данной системы. ### 2. Решите систему уравнений методом подстановки: Система уравнений: \[ \begin{cases} y = \frac{x}{2} + 1 \\ x - y = 1 \end{cases} \] Поставим \(y = \frac{x}{2} + 1\) во второе уравнение: \[ x - \left(\frac{x}{2} + 1\right) = 1 \] Решим уравнение: \[ x - \frac{x}{2} - 1 = 1 \] \[ \frac{2x}{2} - \frac{x}{2} = 2 \] \[ \frac{x}{2} = 2 \] \[ x = 4 \] Найдем \(y\), подставив \(x = 4\) в первое уравнение: \[ y = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3 \] Решение системы: \(x = 4\), \(y = 3\). ### 3. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 - y^2 = 12 \end{cases} \] Сложим оба уравнения: \[ (x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 4 + 12 \] \[ 2x^2 = 16 \] \[ x^2 = 8 \] \[ x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \] Теперь найдем \(y^2\), вычтя одно уравнение из другого: \[ (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 4 - 12 \] \[ 2y^2 = -8 \] Оба уравнения не дают реально существующих решений, так как \(y^2\) не может быть отрицательным числом. Похоже на ошибку в уравнениях или в условии. ### 4. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 6. Найдите эти числа. Пусть числа \(x\) и \(y\). Тогда: \[ x - y = 5 \] \[ xy = 6 \] Выразим \(x\) из первого уравнения: \[ x = y + 5 \] Подставим во второе уравнение: \[ (y + 5)y = 6 \] \[ y^2 + 5y - 6 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -6\) \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \] \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{2} \] Для \(y_1\): \[ y_1 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \] \[ x = y + 5 = 1 + 5 = 6 \] Для \(y_2\): \[ y_2 = \frac{-5 - 7}{2} = -6 \] \[ x = y + 5 = -6 + 5 = -1 \] Числа: (6, 1) и (-1, -6). ### 5. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 30 км. Пассажирский теплоход проходит это расстояние по течению реки за 3 часа. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения реки. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде \(v\), а скорость течения \(u\). Тогда по течению скорость будет \(v + u\), и можем записать: \[ (v + u) \times 3 = 30 \] Из этого уравнения: \[ v + u = \frac{30}{3} = 10 \text{ км/ч} \] Если дано только одно уравнение или необходимо дополнительное условие, чтобы решить задачу, то потребуется больше информации.