Реши
Давайте рассмотрим каждое задание по порядку:
1. Является ли пара чисел (1; -3) решением системы уравнений?
Система уравнений: \[ \begin{cases} 4x + y = 10 \\ x + 3y = -3 \end{cases} \]
Подставим \(x = 1\) и \(y = -3\) в каждое уравнение:
\(4x + y = 10\) \[ 4(1) + (-3) = 4 - 3 = 1 \neq 10 \]
\(x + 3y = -3\) \[ 1 + 3(-3) = 1 - 9 = -8 \neq -3 \]
Пара чисел (1; -3) не является решением данной системы.
2. Решите систему уравнений методом подстановки:
Система уравнений: \[ \begin{cases} y = \frac{x}{2} + 1 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Поставим \(y = \frac{x}{2} + 1\) во второе уравнение:
\[ x - \left(\frac{x}{2} + 1\right) = 1 \]
Решим уравнение:
\[ x - \frac{x}{2} - 1 = 1 \] \[ \frac{2x}{2} - \frac{x}{2} = 2 \] \[ \frac{x}{2} = 2 \] \[ x = 4 \]
Найдем \(y\), подставив \(x = 4\) в первое уравнение:
\[ y = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3 \]
Решение системы: \(x = 4\), \(y = 3\).
3. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x^2 - y^2 = 12 \end{cases} \]
Сложим оба уравнения:
\[ (x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 4 + 12 \]
\[ 2x^2 = 16 \]
\[ x^2 = 8 \]
\[ x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \]
Теперь найдем \(y^2\), вычтя одно уравнение из другого:
\[ (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 4 - 12 \]
\[ 2y^2 = -8 \]
Оба уравнения не дают реально существующих решений, так как \(y^2\) не может быть отрицательным числом. Похоже на ошибку в уравнениях или в условии.
4. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 6. Найдите эти числа.
Пусть числа \(x\) и \(y\). Тогда: \[ x - y = 5 \] \[ xy = 6 \]
Выразим \(x\) из первого уравнения:
\[ x = y + 5 \]
Подставим во второе уравнение:
\[ (y + 5)y = 6 \] \[ y^2 + 5y - 6 = 0 \]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -6\)
\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{2} \]
Для \(y_1\): \[ y_1 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \] \[ x = y + 5 = 1 + 5 = 6 \]
Для \(y_2\): \[ y_2 = \frac{-5 - 7}{2} = -6 \] \[ x = y + 5 = -6 + 5 = -1 \]
Числа: (6, 1) и (-1, -6).
5. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 30 км. Пассажирский теплоход проходит это расстояние по течению реки за 3 часа. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения реки.
Пусть скорость теплохода в неподвижной воде \(v\), а скорость течения \(u\). Тогда по течению скорость будет \(v + u\), и можем записать:
\[ (v + u) \times 3 = 30 \]
Из этого уравнения:
\[ v + u = \frac{30}{3} = 10 \text{ км/ч} \]
Если дано только одно уравнение или необходимо дополнительное условие, чтобы решить задачу, то потребуется больше информации.
