В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4) , B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6) , C ( 8 ; 6 ) C(8;6) , D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y) . Найди…

Чтобы найти вероятность того, что случайная точка \( X(x; y) \) в прямоугольнике с вершинами \( A(-4; -4) \), \( B(-4; 6) \), \( C(8; 6) \), \( D(8; -4) \) будет принадлежать области, заданной неравенствами \( y \leq x \) и \( y \geq 1 \), нам нужно выполнить следующие шаги.

1. Определим координаты прямоугольника

Сначала давайте определим размеры нашего прямоугольника с заданными вершинами.

• По оси \( x \) координаты \( A \) и \( D \) равны \(-4\) и \( 8\), соответственно. Таким образом, ширина прямоугольника: \[ 8 - (-4) = 12 \]

• По оси \( y \) координаты \( A \) и \( B \) равны \(-4\) и \( 6\), соответственно. Таким образом, высота прямоугольника: \[ 6 - (-4) = 10 \]

Следовательно, площадь \( S \) прямоугольника равна: \[ S = 12 \times 10 = 120 \]

2. Определим область, заданную неравенствами

Теперь мы посмотрим на систему неравенств \( y \leq x \) и \( y \geq 1 \).

• Неравенство 1: \( y \leq x \) — это область ниже линии \( y = x \).
• Неравенство 2: \( y \geq 1 \) — это область выше линии \( y = 1 \).

3. Найдем пересечение линий с границами прямоугольника

Теперь найдем точки пересечения линий с границами нашего прямоугольника:

1. Пересечение линии \( y = x \) с горизонтальной линией \( y = 6 \): \[ x = 6 \quad \text{(точка: (6; 6))} \]

2. Пересечение линии \( y = x \) с горизонтальной линией \( y = 1 \): \[ x = 1 \quad \text{(точка: (1; 1))} \]

3. Пересечение линии \( y = 1 \) с вертикальной линией \( x = -4 \): \[ \text{(точка: (-4; 1))} \]

4. Пересечение линии \( y = 1 \) с вертикальной линией \( x = 8 \): \[ \text{(точка: (8; 1))} \]

Теперь у нас есть точки пересечения:

• \( (1; 1) \)
• \( (6; 6) \)
• \( (-4; 1) \)
• \( (8; 1) \)

4. Составляем область, удовлетворяющую условиям

Теперь мы ограничим нашу область неравенствами \( y \leq x \) и \( y \geq 1 \). Мы можем составить многоугольник по найденным точкам.

Основные ключевые точки:

• \( (-4; 1) \)
• \( (1; 1) \)
• \( (6; 6) \)
• \( (8; 1) \)

5. Находим площадь области

Теперь нам нужно вычислить площадь области, которая удовлетворяет нашим неравенствам. Мы можем разбить многоугольник на два треугольника.

1. Треугольник \( (-4; 1) \), \( (1; 1) \), \( (1; 6) \): Площадь = \( \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times (1 - (-4)) \times (6 - 1) = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \)

2. Треугольник \( (1; 1) \), \( (6; 6) \), \( (8; 1) \): Площадь = \( \frac{1}{2} \times (6 - 1) \times (8 - 1) = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 = 17.5 \)

Таким образом общая площадь области: \[ \text{Общая площадь} = 12.5 + 17.5 = 30 \]

6. Находим вероятность

Теперь вероятность того, что случайная точка \( X(x; y) \) принадлежит этой области, равна: \[ P = \frac{\text{площадь области}}{\text{общая площадь прямоугольника}} = \frac{30}{120} = 0.25 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что координаты точки \( X(x; y) \) принадлежат заданной области, составляет: \[ \boxed{0.25} \]