В прямоугольнике с вершинами  A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4),  B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6),  C ( 8 ; 6 ) C(8;6),  D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку  X ( x ; y ) X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами  y ≤ x y≤x и  y ≥ 1 y≥1.

Чтобы найти вероятность того, что случайная точка \( X(x; y) \) в прямоугольнике с вершинами \( A(-4; -4) \), \( B(-4; 6) \), \( C(8; 6) \), \( D(8; -4) \) будет принадлежать области, заданной неравенствами \( y \leq x \) и \( y \geq 1 \), нам нужно выполнить следующие шаги. ### 1. Определим координаты прямоугольника Сначала давайте определим размеры нашего прямоугольника с заданными вершинами. - По оси \( x \) координаты \( A \) и \( D \) равны \(-4\) и \( 8\), соответственно. Таким образом, ширина прямоугольника: \[ 8 - (-4) = 12 \] - По оси \( y \) координаты \( A \) и \( B \) равны \(-4\) и \( 6\), соответственно. Таким образом, высота прямоугольника: \[ 6 - (-4) = 10 \] Следовательно, площадь \( S \) прямоугольника равна: \[ S = 12 \times 10 = 120 \] ### 2. Определим область, заданную неравенствами Теперь мы посмотрим на систему неравенств \( y \leq x \) и \( y \geq 1 \). - **Неравенство 1: \( y \leq x \)** — это область ниже линии \( y = x \). - **Неравенство 2: \( y \geq 1 \)** — это область выше линии \( y = 1 \). ### 3. Найдем пересечение линий с границами прямоугольника Теперь найдем точки пересечения линий с границами нашего прямоугольника: 1. **Пересечение линии \( y = x \) с горизонтальной линией \( y = 6 \)**: \[ x = 6 \quad \text{(точка: (6; 6))} \] 2. **Пересечение линии \( y = x \) с горизонтальной линией \( y = 1 \)**: \[ x = 1 \quad \text{(точка: (1; 1))} \] 3. **Пересечение линии \( y = 1 \) с вертикальной линией \( x = -4 \)**: \[ \text{(точка: (-4; 1))} \] 4. **Пересечение линии \( y = 1 \) с вертикальной линией \( x = 8 \)**: \[ \text{(точка: (8; 1))} \] Теперь у нас есть точки пересечения: - \( (1; 1) \) - \( (6; 6) \) - \( (-4; 1) \) - \( (8; 1) \) ### 4. Составляем область, удовлетворяющую условиям Теперь мы ограничим нашу область неравенствами \( y \leq x \) и \( y \geq 1 \). Мы можем составить многоугольник по найденным точкам. Основные ключевые точки: - \( (-4; 1) \) - \( (1; 1) \) - \( (6; 6) \) - \( (8; 1) \) ### 5. Находим площадь области Теперь нам нужно вычислить площадь области, которая удовлетворяет нашим неравенствам. Мы можем разбить многоугольник на два треугольника. 1. **Треугольник \( (-4; 1) \), \( (1; 1) \), \( (1; 6) \)**: Площадь = \( \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times (1 - (-4)) \times (6 - 1) = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \) 2. **Треугольник \( (1; 1) \), \( (6; 6) \), \( (8; 1) \)**: Площадь = \( \frac{1}{2} \times (6 - 1) \times (8 - 1) = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 = 17.5 \) Таким образом общая площадь области: \[ \text{Общая площадь} = 12.5 + 17.5 = 30 \] ### 6. Находим вероятность Теперь вероятность того, что случайная точка \( X(x; y) \) принадлежит этой области, равна: \[ P = \frac{\text{площадь области}}{\text{общая площадь прямоугольника}} = \frac{30}{120} = 0.25 \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что координаты точки \( X(x; y) \) принадлежат заданной области, составляет: \[ \boxed{0.25} \]