№1, 0.831 Реши задачу. В окружность с центром O вписан четырёхугольник MNQJ . Определи градусную меру угла NQJ , если ∠MNJ=57° , ∠NQM=42° . Запиши ответ числом. ∠NQJ= (пропуск) °…

Для решения задачи сначала вспомним несколько теорем, связанных с углами в окружности и вписанными углами.

1. Вписанный угол: Угол, образованный двумя хордами, проведенными из одной точки на окружности, равен половине угла, заключенному между продолжениями этих хорда, то есть углом, который образует секущая с внешней стороны окружности.

2. Свойства углов: Если в окружность вписан четырёхугольник, то противолежащие углы этого четырёхугольника складываются до 180°.

В нашей задаче имеется четырёхугольник MNQJ, внутри которого следующие углы:

• \( \angle MNJ = 57° \)
• \( \angle NQM = 42° \)

Мы ищем угол \( \angle NQJ \).

По свойству, просуммируем противолежащие углы \( \angle MNJ \) и \( \angle NQJ \):

\[ \angle MNJ + \angle NQJ = 180° \]

Подставим известное значение угла \( \angle MNJ \):

\[ 57° + \angle NQJ = 180° \]

Теперь решим уравнение для нахождения угла \( \angle NQJ \):

\[ \angle NQJ = 180° - 57° \] \[ \angle NQJ = 123° \]

Теперь добавим ещё одно уравнение, связанное с углом \( \angle NQM \):

Применим данное свойство к углам \( \angle NQM \) и \( \angle MJQ \) (это угол, противолежащий углу \( NQM \)):

\[ \angle NQM + \angle MJQ = 180° \]

Таким образом, чтобы найти угол \( \angle MJQ \):

\[ 42° + \angle MJQ = 180° \]

Решим:

\[ \angle MJQ = 180° - 42° \] \[ \angle MJQ = 138° \]

Теперь мы знаем, что:

• \( \angle NQJ = 123° \)
• \( \angle MJQ = 138° \)

Другими словами, оба проанализируемых угла автоматически совпадают с противолежащими друг другу углами, проверяемым через сумму углов. Поскольку уже нашли угол \( \angle NQJ \), записываем финальный ответ.

Ответ: \( \angle NQJ = 123° \)