В классе 38 учеников. Большинству из класса нравятся такие сорта мороженого, как «Белый снег», «Квадратное» и «Лесное». «Белый снег» нравится 21 ученику. Трем среди них нравятся…
В классе 38 учеников. Большинству из класса нравятся такие сорта мороженого, как «Белый снег», «Квадратное» и «Лесное». «Белый снег» нравится 21 ученику. Трем среди них нравятся еще и «Лесное», а шестерым - «Квадратное», а одному – все три. Мороженое «Лесное» любят 13 школьников, пятеро из которых любят два сорта мороженого. Какому количеству школьников нравится мороженое «Квадратное»?
Для решения этой задачи нам нужно использовать принцип включения-исключения и представление данных о предпочтениях учеников в виде диаграммы Венна. Постараемся разобраться, как можно подсчитать количество учеников, которым нравится мороженое «Квадратное».
Данные:
- Всего учеников в классе: 38
- Учеников, которым нравится «Белый снег»: 21
- Учеников, которым нравится «Лесное»: 13
- Учеников, которым нравится «Квадратное»: ? (это то, что мы хотим найти)
- 3 ученика любят «Лесное» и «Белый снег»
- 6 учеников любят «Квадратное» и «Белый снег»
- 5 учеников любят «Лесное» и «Квадратное»
- 1 ученик любит все три сорта мороженого
Обозначения:
- Пусть \( A \) – множество учеников, которым нравится «Белый снег».
- Пусть \( B \) – множество учеников, которым нравится «Квадратное».
- Пусть \( C \) – множество учеников, которым нравится «Лесное».
Известные значения:
- \( |A| = 21 \)
- \( |C| = 13 \)
- \( |A \cap C| = 3 \) (те, кто любят «Лесное» и «Белый снег»)
- \( |A \cap B| = 6 \) (те, кто любят «Квадратное» и «Белый снег»)
- \( |B \cap C| = 5 \) (те, кто любят «Лесное» и «Квадратное»)
- \( |A \cap B \cap C| = 1 \) (те, кто любят все три сорта)
Шаг 1: Определим количество участников в каждом сочетании
Учеников, которые любят только «Белый снег» и «Лесное»: \[ |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 3 - 1 = 2 \]
Учеников, которые любят только «Белый снег» и «Квадратное»: \[ |A \cap B| - |A \cap B \cap C| = 6 - 1 = 5 \]
Учеников, которые любят только «Лесное» и «Квадратное»: \[ |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 5 - 1 = 4 \]
Шаг 2: Определим количество учеников, которые любят только один вид мороженого
Учеников, которые любят только «Белый снег»: \[ |A| - (|A \cap C| + |A \cap B| - |A \cap B \cap C|) = 21 - (3 + 6 - 1) = 21 - 8 = 13 \]
Учеников, которые любят только «Лесное»: Помним, что 5 учеников любят «Лесное» и «Квадратное», из которых 1 любит все три. \[ |C| - (|A \cap C| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C|) = 13 - (3 + 5 - 1) = 13 - 7 = 6 \]
Учеников, которые любят только «Квадратное»: Обозначим количество учеников, которым нравится «Квадратное», как \( x \). Из предыдущих подсчетов у нас есть:
- Уникальные: \( |B| - (|A \cap B| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C|) = x - (6 + 5 - 1) = x - 10 \)
Итак, совокупно у нас получается \( 13 + 2 + 5 + 6 + 4 + (x - 10) + 1 = 38 \).
Шаг 3: Подсчитаем
Подставим все известные данные в уравнение:
\[ 13 + 2 + 5 + 6 + 4 + (x - 10) + 1 = 38 \] \[ 21 + x - 10 = 38 \] \[ x + 11 = 38 \] \[ x = 27 \]
Итог
Количество учеников, которым нравится мороженое «Квадратное»: 27 учеников.
Таким образом, при таком результате мы можем проверить, что все данные о предпочтениях справедливы на всех уровнях, и сумма всех уникальных учеников во всех категориях соблюдается.
