даны точки A(4;0), B(1;-1), C(5;2) найдите: а) координаты вектора BC б) расстояние между точками A и В в) длину вектора АС
Чтобы решить поставленную задачу, начнем с анализа каждой части отдельно. У нас есть три точки: \( A(4;0) \), \( B(1;-1) \), \( C(5;2) \).
а) Координаты вектора \( \overrightarrow{BC} \)
Вектор \( \overrightarrow{BC} \) можно определить, вычитая координаты точки \( B \) из координат точки \( C \):
\[ \overrightarrow{BC} = C - B = (x_C - x_B; y_C - y_B) \]
Подставим координаты:
- \( x_C = 5 \), \( y_C = 2 \)
- \( x_B = 1 \), \( y_B = -1 \)
Теперь вычислим:
\[ \overrightarrow{BC} = (5 - 1; 2 - (-1)) = (4; 3) \]
Итак, координаты вектора \( \overrightarrow{BC} \) равны \( (4; 3) \).
б) Расстояние между точками \( A \) и \( B \)
Чтобы найти расстояние между двумя точками, можно использовать формулу расстояния между двумя точками \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \):
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Подставим координаты точек \( A(4;0) \) и \( B(1;-1) \):
\[ d = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]
Таким образом, расстояние между точками \( A \) и \( B \) равно \( \sqrt{10} \).
в) Длина вектора \( \overrightarrow{AC} \)
Для нахождения длины вектора \( \overrightarrow{AC} \) мы сначала найдем его координаты, вычитая координаты точки \( A \) из координат точки \( C \):
\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (x_C - x_A; y_C - y_A) \]
Подставим координаты:
- \( x_A = 4 \), \( y_A = 0 \)
- \( x_C = 5 \), \( y_C = 2 \)
Теперь вычислим:
\[ \overrightarrow{AC} = (5 - 4; 2 - 0) = (1; 2) \]
Теперь найдем длину вектора \( \overrightarrow{AC} \) по формуле (аналогично расстоянию):
\[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]
Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{AC} \) равна \( \sqrt{5} \).
Резюме:
- Координаты вектора \( \overrightarrow{BC} \): \( (4; 3) \)
- Расстояние между точками \( A \) и \( B \): \( \sqrt{10} \)
- Длина вектора \( \overrightarrow{AC} \): \( \sqrt{5} \)
