Чтобы решить поставленную задачу, начнем с анализа каждой части отдельно. У нас есть три точки: ( A(4;0) ), ( B(1;-1) ), ( C(5;2) ).
а) Координаты вектора ( \overrightarrow{BC} )
Вектор ( \overrightarrow{BC} ) можно определить, вычитая координаты точки ( B ) из координат точки ( C ):
[
\overrightarrow{BC} = C - B = (x_C - x_B; y_C - y_B)
]
Подставим координаты:
- ( x_C = 5 ), ( y_C = 2 )
- ( x_B = 1 ), ( y_B = -1 )
Теперь вычислим:
[
\overrightarrow{BC} = (5 - 1; 2 - (-1)) = (4; 3)
]
Итак, координаты вектора ( \overrightarrow{BC} ) равны ( (4; 3) ).
б) Расстояние между точками ( A ) и ( B )
Чтобы найти расстояние между двумя точками, можно использовать формулу расстояния между двумя точками ( A(x_1, y_1) ) и ( B(x_2, y_2) ):
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Подставим координаты точек ( A(4;0) ) и ( B(1;-1) ):
[
d = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
]
Таким образом, расстояние между точками ( A ) и ( B ) равно ( \sqrt{10} ).
в) Длина вектора ( \overrightarrow{AC} )
Для нахождения длины вектора ( \overrightarrow{AC} ) мы сначала найдем его координаты, вычитая координаты точки ( A ) из координат точки ( C ):
[
\overrightarrow{AC} = C - A = (x_C - x_A; y_C - y_A)
]
Подставим координаты:
- ( x_A = 4 ), ( y_A = 0 )
- ( x_C = 5 ), ( y_C = 2 )
Теперь вычислим:
[
\overrightarrow{AC} = (5 - 4; 2 - 0) = (1; 2)
]
Теперь найдем длину вектора ( \overrightarrow{AC} ) по формуле (аналогично расстоянию):
[
|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
]
Таким образом, длина вектора ( \overrightarrow{AC} ) равна ( \sqrt{5} ).
Резюме:
- Координаты вектора ( \overrightarrow{BC} ): ( (4; 3) )
- Расстояние между точками ( A ) и ( B ): ( \sqrt{10} )
- Длина вектора ( \overrightarrow{AC} ): ( \sqrt{5} )
