решить через Дискриминант 2sin²x-3sin+1=0
Чтобы решить уравнение \(2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\) с помощью дискриминанта, мы можем начать с замены переменной. Обозначим \(y = \sin x\). Таким образом, уравнение преобразуется в квадратное:
\[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 \]
Теперь мы можем найти корни этого уравнения, используя формулу для дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Для нашего уравнения \(a = 2\), \(b = -3\), и \(c = 1\). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]
Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у нашего уравнения есть два различных корня. Теперь найдём корни по формуле:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4} \]
Теперь находим два корня:
- \( y_1 = \frac{4}{4} = 1 \)
- \( y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
Теперь мы вернемся к оригинальной переменной \(\sin x\):
Для \(y_1 = \sin x = 1\):
- \(\sin x = 1\) при \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — любое целое число.
Для \(y_2 = \sin x = \frac{1}{2}\):
- \(\sin x = \frac{1}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) — любое целое число.
Таким образом, общее решение уравнения \(2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\) можно записать в виде:
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (\text{для } \sin x = 1) \] \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (\text{для } \sin x = \frac{1}{2}) \]
где \(k \in \mathbb{Z}\).
