Контрольная работа по теме «Арифметическая прогрессия» 1 вариант 1. Числовая последовательность задана следующими условиями: a1=2, аn 1=2an - 3. Найдите пятый член этой последовательности. 2. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (an), если а1 = - 15, d = 3. 3. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; … 4. Найдите сумму шестидесяти первых членов

Давайте решим каждую из задач по порядку и постараемся подробно объяснить каждое действие. ### Задача 1: Найти пятый член последовательности Дано: - \( a_1 = 2 \) - Рекуррентная формула: \( a_n = 2a_{n-1} - 3 \) Для нахождения пятого члена (\( a_5 \)), нам нужно найти все члены до пятого: 1. **Первый член:** \[ a_1 = 2 \] 2. **Второй член:** (Подставляем \( n = 2 \)) \[ a_2 = 2a_1 - 3 = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1 \] 3. **Третий член:** (Подставляем \( n = 3 \)) \[ a_3 = 2a_2 - 3 = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1 \] 4. **Четвертый член:** (Подставляем \( n = 4 \)) \[ a_4 = 2a_3 - 3 = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \] 5. **Пятый член:** (Подставляем \( n = 5 \)) \[ a_5 = 2a_4 - 3 = 2 \cdot (-5) - 3 = -10 - 3 = -13 \] **Ответ:** \( a_5 = -13 \) --- ### Задача 2: Найдите двадцатый третий член арифметической прогрессии Дано: - \( a_1 = -15 \) - Разность \( d = 3 \) Формула для нахождения \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \] 1. Подставим значения для \( a_{23} \): \[ a_{23} = a_1 + (23 - 1) \cdot d = -15 + (22) \cdot 3 \] \[ a_{23} = -15 + 66 = 51 \] **Ответ:** \( a_{23} = 51 \) --- ### Задача 3: Найти сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии 8; 4; 0; … Как видно, данная последовательность имеет: - Первый член \( a_1 = 8 \) - Разность \( d = 4 - 8 = -4 \) Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] Сначала найдем \( a_{16} \): \[ a_{16} = a_1 + (16 - 1) \cdot d = 8 + (15)(-4) = 8 - 60 = -52 \] Теперь подставим значения в формулу для суммы: \[ S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (8 + (-52)) = 8 \cdot (-44) = -352 \] **Ответ:** \( S_{16} = -352 \) --- ### Задача 4: Найдите сумму первых шестидесяти членов Для данной задачи мы можем assumir, что это предполагает ту же арифметическую прогрессию, что и в задаче 3, то есть: - \( a_1 = 8 \) - \( d = -4 \) Сначала найдем \( a_{60} \) с помощью той же формулы: \[ a_{60} = a_1 + (60 - 1) \cdot d = 8 + (59)(-4) \] \[ a_{60} = 8 - 236 = -228 \] Теперь можем найти сумму первых 60 членов: \[ S_{60} = \frac{60}{2} \cdot (a_1 + a_{60}) = 30 \cdot (8 + (-228)) = 30 \cdot (-220) = -6600 \] **Ответ:** \( S_{60} = -6600 \) --- Таким образом, к каждому из поставленных вопросов мы нашли решение с полным обоснованием.