Контрольная работа по теме «Арифметическая прогрессия» 1 вариант 1. Числовая последовательность задана следующими условиями: a1=2, аn 1=2an - 3. Найдите пятый член этой…

Давайте решим каждую из задач по порядку и постараемся подробно объяснить каждое действие.

Задача 1: Найти пятый член последовательности

Дано:

• \( a_1 = 2 \)
• Рекуррентная формула: \( a_n = 2a_{n-1} - 3 \)

Для нахождения пятого члена (\( a_5 \)), нам нужно найти все члены до пятого:

1. Первый член: \[ a_1 = 2 \]

2. Второй член: (Подставляем \( n = 2 \)) \[ a_2 = 2a_1 - 3 = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1 \]

3. Третий член: (Подставляем \( n = 3 \)) \[ a_3 = 2a_2 - 3 = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1 \]

4. Четвертый член: (Подставляем \( n = 4 \)) \[ a_4 = 2a_3 - 3 = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \]

5. Пятый член: (Подставляем \( n = 5 \)) \[ a_5 = 2a_4 - 3 = 2 \cdot (-5) - 3 = -10 - 3 = -13 \]

Ответ: \( a_5 = -13 \)

Задача 2: Найдите двадцатый третий член арифметической прогрессии

Дано:

• \( a_1 = -15 \)
• Разность \( d = 3 \)

Формула для нахождения \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

1. Подставим значения для \( a_{23} \): \[ a_{23} = a_1 + (23 - 1) \cdot d = -15 + (22) \cdot 3 \] \[ a_{23} = -15 + 66 = 51 \]

Ответ: \( a_{23} = 51 \)

Задача 3: Найти сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии 8; 4; 0; …

Как видно, данная последовательность имеет:

• Первый член \( a_1 = 8 \)
• Разность \( d = 4 - 8 = -4 \)

Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Сначала найдем \( a_{16} \): \[ a_{16} = a_1 + (16 - 1) \cdot d = 8 + (15)(-4) = 8 - 60 = -52 \]

Теперь подставим значения в формулу для суммы: \[ S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (8 + (-52)) = 8 \cdot (-44) = -352 \]

Ответ: \( S_{16} = -352 \)

Задача 4: Найдите сумму первых шестидесяти членов

Для данной задачи мы можем assumir, что это предполагает ту же арифметическую прогрессию, что и в задаче 3, то есть:

• \( a_1 = 8 \)
• \( d = -4 \)

Сначала найдем \( a_{60} \) с помощью той же формулы: \[ a_{60} = a_1 + (60 - 1) \cdot d = 8 + (59)(-4) \] \[ a_{60} = 8 - 236 = -228 \]

Теперь можем найти сумму первых 60 членов: \[ S_{60} = \frac{60}{2} \cdot (a_1 + a_{60}) = 30 \cdot (8 + (-228)) = 30 \cdot (-220) = -6600 \]

Ответ: \( S_{60} = -6600 \)

Таким образом, к каждому из поставленных вопросов мы нашли решение с полным обоснованием.