Найдите синус, косинус, тангенс угла В прямоугольного треугольника ABC, если ВС = 6√3, АВ=9√2.
Чтобы найти синус, косинус и тангенс угла \( \angle B \) в прямоугольном треугольнике ABC, где \( BC = 6\sqrt{3} \) и \( AB = 9\sqrt{2} \), начнем с того, что нам также нужно найти длину гипотенузы \( AC \). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения этой стороны:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]
- Вычислим значения сторон:
- \( AB = 9\sqrt{2} \)
- \( BC = 6\sqrt{3} \)
Так, мы можем подставить значения в формулу:
\[ AC^2 = (9\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{3})^2 \]
Теперь посчитаем каждое из квадратов:
\[ (9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162 \] \[ (6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108 \]
Теперь сложим эти значения:
\[ AC^2 = 162 + 108 = 270 \]
Теперь выходим из квадратов, чтобы найти гипотенузу:
\[ AC = \sqrt{270} = \sqrt{90 \cdot 3} = 3\sqrt{30} \]
Теперь найдем синус, косинус и тангенс угла \( B \):
Синус угла \( B \): \[ \sin B = \frac{BC}{AC} = \frac{6\sqrt{3}}{3\sqrt{30}} = \frac{6\sqrt{3}}{3\sqrt{30}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{30}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5} \]
Косинус угла \( B \): \[ \cos B = \frac{AB}{AC} = \frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{30}} = \frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3 \cdot 10}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5} \]
Тангенс угла \( B \): \[ \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3 \cdot 5}} = \frac{1}{\sqrt{1.5}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \]
Ответ:
- \( \sin B = \frac{\sqrt{10}}{5} \)
- \( \cos B = \frac{\sqrt{15}}{5} \)
- \( \tan B = \frac{\sqrt{2}}{3} \)
Эти шаги дают нам полное понимание процесса нахождения тригонометрических функций угла прямоугольного треугольника.
