Во сколько раз увеличится площадь круга,если диаметр круга увеличить в 4 раза?

Чтобы понять, во сколько раз увеличится площадь круга при увеличении его диаметра в 4 раза, давайте разберем задачу пошагово. 1. **Формула для площади круга:** Площадь круга \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \] где \( r \) — радиус круга. 2. **Связь между радиусом и диаметром:** Диаметр \( D \) круга связан с радиусом следующим образом: \[ D = 2r \] Следовательно, радиус можно выразить через диаметр: \[ r = \frac{D}{2} \] 3. **Исходный диаметр:** Пусть у нас есть некоторый начальный диаметр \( D_1 \). Тогда радиус будет: \[ r_1 = \frac{D_1}{2} \] 4. **Площадь с начальным диаметром:** Подставим радиус в формулу для площади: \[ S_1 = \pi \left(\frac{D_1}{2}\right)^2 = \pi \frac{D_1^2}{4} \] 5. **Увеличение диаметра:** Теперь увеличим диаметр в 4 раза, то есть: \[ D_2 = 4D_1 \] Следовательно, новый радиус будет: \[ r_2 = \frac{D_2}{2} = \frac{4D_1}{2} = 2D_1 \] 6. **Площадь с новым диаметром:** Найдем новую площадь: \[ S_2 = \pi (r_2)^2 = \pi (2D_1)^2 = \pi \cdot 4D_1^2 = 4\pi D_1^2 \] 7. **Сравнение площадей:** Теперь сравним новую площадь \( S_2 \) и исходную площадь \( S_1 \): - Исходная площадь: \[ S_1 = \pi \frac{D_1^2}{4} \] - Новая площадь: \[ S_2 = 4\pi D_1^2 \] Для того чтобы узнать, во сколько раз увеличилась площадь, нужно разделить \( S_2 \) на \( S_1 \): \[ \frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi D_1^2}{\pi \frac{D_1^2}{4}} = \frac{4\pi D_1^2}{\frac{\pi D_1^2}{4}} = 4 \cdot 4 = 16 \] 8. **Ответ:** Площадь круга увеличится в 16 раз, если диаметр круга увеличить в 4 раза.