во сколько раз увеличится площадь круга,если диаметр круга увеличить в 4 раза?
Чтобы понять, во сколько раз увеличится площадь круга при увеличении его диаметра в 4 раза, давайте разберем задачу пошагово.
Формула для площади круга:
Площадь круга \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \] где \( r \) — радиус круга.Связь между радиусом и диаметром:
Диаметр \( D \) круга связан с радиусом следующим образом: \[ D = 2r \] Следовательно, радиус можно выразить через диаметр: \[ r = \frac{D}{2} \]Исходный диаметр:
Пусть у нас есть некоторый начальный диаметр \( D_1 \). Тогда радиус будет: \[ r_1 = \frac{D_1}{2} \]Площадь с начальным диаметром:
Подставим радиус в формулу для площади: \[ S_1 = \pi \left(\frac{D_1}{2}\right)^2 = \pi \frac{D_1^2}{4} \]Увеличение диаметра:
Теперь увеличим диаметр в 4 раза, то есть: \[ D_2 = 4D_1 \] Следовательно, новый радиус будет: \[ r_2 = \frac{D_2}{2} = \frac{4D_1}{2} = 2D_1 \]Площадь с новым диаметром:
Найдем новую площадь: \[ S_2 = \pi (r_2)^2 = \pi (2D_1)^2 = \pi \cdot 4D_1^2 = 4\pi D_1^2 \]Сравнение площадей:
Теперь сравним новую площадь \( S_2 \) и исходную площадь \( S_1 \):- Исходная площадь: \[ S_1 = \pi \frac{D_1^2}{4} \]
- Новая площадь: \[ S_2 = 4\pi D_1^2 \]
Для того чтобы узнать, во сколько раз увеличилась площадь, нужно разделить \( S_2 \) на \( S_1 \): \[ \frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi D_1^2}{\pi \frac{D_1^2}{4}} = \frac{4\pi D_1^2}{\frac{\pi D_1^2}{4}} = 4 \cdot 4 = 16 \]
Ответ:
Площадь круга увеличится в 16 раз, если диаметр круга увеличить в 4 раза.
