При каких значениях параметра a: а) уравнение |x|=a-3 имеет один корень; б) |x|=-a+6 не имеет корней; в) |x+1|=a^2+4 имеет два корня.
Давайте разберемся с каждой частью задачи по очереди, основываясь на свойствах абсолютного значения.
а) Уравнение |x| = a - 3 имеет один корень.
Уравнение |x| = b (где b - неотрицательное число) имеет один корень, только если b = 0. В данном случае:
\[ a - 3 = 0 \]
Решая это уравнение, мы получаем:
\[ a = 3 \]
Таким образом, для того чтобы уравнение |x| = a - 3 имело один корень, необходимо, чтобы параметр \( a \) равнялся 3.
б) Уравнение |x| = -a + 6 не имеет корней.
Уравнение |x| = c (где c - неотрицательное число) не имеет корней, если c < 0. Для данного уравнения:
\[ -a + 6 < 0 \]
Решая это неравенство, получаем:
\[ -a < -6 \quad \Rightarrow \quad a > 6 \]
Таким образом, для того чтобы уравнение |x| = -a + 6 не имело корней, параметр \( a \) должен быть больше 6.
в) Уравнение |x + 1| = a² + 4 имеет два корня.
Уравнение |x| = b (где b - любое неотрицательное число) имеет два корня, если b > 0. В нашем случае:
\[ a^2 + 4 > 0 \]
Поскольку \( a^2 \) всегда неотрицательно (квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным) и 4 также положительно, это неравенство всегда выполняется для всех \( a \) (так как сумма двух неотрицательных чисел всегда положительна).
Таким образом, для того чтобы уравнение |x + 1| = a² + 4 имело два корня, параметр \( a \) может быть любым действительным числом.
Итог:
- \( a = 3 \) для задачи (а).
- \( a > 6 \) для задачи (б).
- \( a \) может быть любым действительным числом для задачи (в).
