Длинна окружности основания конуса равна 3 , образующая равна 2. Найдите площадь его полной поверхности , деленную на п
Для решения задачи найдем площадь полной поверхности конуса. Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности.
Найдём радиус основания конуса.
Длина окружности основания конуса \(C\) вычисляется по формуле: \[ C = 2\pi r \] Где \(r\) — радиус основания. Мы знаем, что \(C = 3\): \[ 3 = 2\pi r \] Теперь выразим \(r\): \[ r = \frac{3}{2\pi} \]Теперь найдем высоту конуса.
Мы знаем, что образующая (наклонная) конуса \(l = 2\) и радиус основания \(r\) предыдущий результат. Высота \(h\) конуса можно найти с помощью теоремы Пифагора: \[ l^2 = r^2 + h^2 \] Подставим известные значения: \[ 2^2 = \left(\frac{3}{2\pi}\right)^2 + h^2 \] Вычислим: \[ 4 = \frac{9}{4\pi^2} + h^2 \] Для удобства переместим \(h^2\): \[ h^2 = 4 - \frac{9}{4\pi^2} \]Приведем 4 к общему знаменателю: \[ h^2 = \frac{16\pi^2}{4\pi^2} - \frac{9}{4\pi^2} = \frac{16\pi^2 - 9}{4\pi^2} \]
Следовательно, высота конуса: \[ h = \sqrt{\frac{16\pi^2 - 9}{4\pi^2}} = \frac{\sqrt{16\pi^2 - 9}}{2\pi} \]
Рассчитаем площадь основания.
Площадь основания \(S_b\) вычисляется по формуле: \[ S_b = \pi r^2 \] Подставим значение радиуса: \[ S_b = \pi \left(\frac{3}{2\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{9}{4\pi^2} = \frac{9}{4\pi} \]Рассчитаем площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности \(S_{бок}\) определяется как: \[ S_{бок} = \pi r l \] Подставляем значения: \[ S_{бок} = \pi \cdot \frac{3}{2\pi} \cdot 2 = 3 \]Теперь найдем общую площадь полной поверхности.
Площадь полной поверхности \(S\) конуса: \[ S = S_b + S_{бок} = \frac{9}{4} + 3 = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = \frac{21}{4} \]Итак, делим площадь на \(\pi\): \[ \frac{S}{\pi} = \frac{\frac{21}{4}}{\pi} = \frac{21}{4\pi} \]
Ответ: площадь полной поверхности конуса, деленная на \(\pi\), равна \(\frac{21}{4\pi}\).
