107. В треугольнике АВС угол С равен 90°, BC=9, AC=27. Найдите tgB. 124. Синус острого угла А треугольника АВС Равен Найдите cosA. 10 128. Косинус острого угла А треугольника АВС…

Давайте решим каждую из представленных задач по отдельности и подробно объясним каждый шаг.

Задача 107

В треугольнике ABC угол C равен 90°, \( BC = 9 \), \( AC = 27 \). Найдите \( \tan B \).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) угол \( C \) – это прямой угол.
2. По определению тангенса угла \( B \): \[ \tan B = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}}. \] В данном случае это будет: \[ \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{27}{9} = 3. \]

Таким образом, \( \tan B = 3 \).

Задача 124

Синус острого угла A треугольника ABC равен \( \frac{10}{\text{гипотенуза}} \). Найдите \( \cos A \).

Решение:

1. Если \( \sin A = \frac{10}{c} \) (где \( c \) – гипотенуза), то по теореме Пифагора: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1. \]

2. Мы знаем, что \( \sin A = \frac{10}{c} \). Подставим: \[ \left(\frac{10}{c}\right)^2 + \cos^2 A = 1. \] Это можно переписать как: \[ \frac{100}{c^2} + \cos^2 A = 1. \] Выразим \( \cos^2 A \): \[ \cos^2 A = 1 - \frac{100}{c^2}. \]

3. Если гипотенузу \( c \) знать нельзя, то можно сказать, что \( \cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{10}{c}\right)^2} \).

Ответ: Формула для вычисления \( \cos A \) – \( \sqrt{1 - \left(\frac{10}{c}\right)^2} \).

Задача 128

Косинус острого угла A треугольника ABC равен \( \frac{5}{\sqrt{21}} \). Найдите \( \sin A \).

Решение:

1. Чтобы найти \( \sin A \), используем теорему Пифагора: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1. \]
2. Подставляем \( \cos A \): \[ \sin^2 A + \left(\frac{5}{\sqrt{21}}\right)^2 = 1. \] Получаем: \[ \sin^2 A + \frac{25}{21} = 1. \]
3. Переписываем уравнение: \[ \sin^2 A = 1 - \frac{25}{21} = \frac{21 - 25}{21} = -\frac{4}{21}. \] Это невозможно, следовательно, возможно ошибка в данных.

Ответ: Проверьте данные, чтобы убедиться, что них нет ошибки.

Задача 77

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 7 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Решение:

1. Обозначим известный катет как \( a = 7 \), гипотенузу как \( c = 25 \), и другой катет обозначим как \( b \).
2. По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2. \]
3. Подставляем известные значения: \[ 7^2 + b^2 = 25^2. \] Получаем: \[ 49 + b^2 = 625. \]
4. Выразим \( b^2 \): \[ b^2 = 625 - 49 = 576. \]
5. Найдём \( b \): \[ b = \sqrt{576} = 24. \]

Таким образом, другой катет равен 24.

Задача 68

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, \( AN = 18 \), \( CM = 21 \). Найдите \( CO \).

Решение:

1. Находим общее отношение частей отрезков AN и CM:

   • \( AO \) и \( ON \) – отрезок, который делит \( AN \) в некотором отношении, \( CO \) и \( OM \) – отрезок, который делит \( CM \) в некотором отношении.

2. По свойству пересечения медиан (находится в 2:1): \[ \frac{AO}{ON} = 2, \quad \frac{CO}{OM} = 2. \]

3. Поскольку \( AN = 18 \), то:

   • \( AO + ON = 18 \) и \( AO = 2 \cdot ON \).
   • Пусть \( ON = x \), тогда \( AO = 2x \), и \( 2x + x = 18 \) ⇒ \( x = 6 \).
   • Таким образом, \( AO = 12 \) и \( ON = 6 \).

4. Теперь аналогично для \( CM \):

   • Пусть \( CO = y \), тогда \( OM = 21 - y \).
   • У нас также: \[ \frac{y}{21-y} = 2. \] Находим, что \( y = \frac{2(21 - y)}{1} \) ⇒ \( y + 2y = 42 \) ⇒ \( 3y = 42 \) ⇒ \( y = 14 \).

Таким образом, \( CO = 14 \).

Надеюсь, это решение было полезно и подробно объяснило, как решить указанные задачи! Если у вас будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться.