Найдите площадь правильного шестиугольника,если радиус вписанной в него окружности=10,а его периметр 6.

Чтобы найти площадь правильного шестиугольника, если известен радиус вписанной в него окружности, воспользуемся следующими шагами.

Шаг 1: Понять свойства правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников. Если радиус вписанной окружности (r) равен 10, то он равен высоте одного из этих треугольников, проведенной из центра шестиугольника к его стороне.

Шаг 2: Найти сторону шестиугольника

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности можно связать со стороной (a) следующей формулой: \[ r = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]

Здесь r — радиус вписанной окружности.

Переписывая формулу для нахождения стороны a, получаем: \[ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} \] Подставим значение радиуса: \[ a = \frac{2 \cdot 10}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \]

Шаг 3: Найти площадь шестиугольника

Площадь (S) правильного шестиугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]

Сначала найдем \( a^2 \): \[ a^2 = \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{400}{3} \]

Теперь подставим это значение в формулу для площади: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{400}{3} \]

Упрощаем: \[ S = \frac{400\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3} \]

Ответ

Таким образом, площадь правильного шестиугольника с радиусом вписанной окружности 10 составляет \( 200\sqrt{3} \) квадратных единиц.