У филотелиста 10 различных марок сколькими способами он может наклеить три марки на шесть пронумерованных мнст

Для решения этой задачи мы используем правила комбинирования. Филотелист имеет 10 различных марок и хочет наклеить три из них на 6 пронумерованных мест.

Чтобы понять, как решать эту задачу, давайте разберем её по шагам:

1. Выбор марок:
   Сначала нам нужно выбрать 3 марки из 10. Это можно сделать с помощью сочетаний, так как порядок выбора марок в данном случае не важен. Формула для нахождения количества сочетаний выглядит так: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!} \] где \( n \) — общее количество объектов (в нашем случае марок), а \( k \) — количество объектов, которые мы выбираем.

   В данном случае:
   \( n = 10 \) (количество марок) и \( k = 3 \) (количество марок, которые нужно выбрать). Подставим эти значения в формулу: \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3! \times (10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \times 7!} \]

   Вычислим факториалы: \[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7!, \quad 3! = 6, \quad 7! = 7! \] Подставим обратно в формулу: \[ C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120 \]

2. Расстановка марок по местам:
   После того как мы выбрали 3 марки, нам нужно разместить их на 6 пронумерованных местах. Поскольку на одно место можно наклеить только одну марку, и порядок, в котором мы наклеиваем марки, важен (то есть, разные порядок размещения марок на местах будет считаться разными способами), мы используем правило размещения.

   Количество способов разместить 3 марки на 6 местах — это число перестановок 3 элементов, выбираемых из 6: \[ P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} \] Здесь \( n = 6 \) (число доступных мест) и \( k = 3 \) (число марок). Подставим: \[ P(6, 3) = \frac{6!}{(6 - 3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{1} = 120 \]

3. Общее количество способов:
   Теперь, чтобы узнать общее количество способов наклеить три марки на шесть мест, мы перемножим количество способов выбора марок и количество способов их размещения: \[ \text{Общее количество способов} = C(10, 3) \times P(6, 3) = 120 \times 120 = 14400 \]

Таким образом, филотелист может наклеить три марки на шесть пронумерованных мест 14400 способами.