У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого 9 книг. Сколькими способами они могут обменять по две книги одного на две книги другого?

Для решения задачи мы будем использовать комбинаторику. У нас есть два человека: у первого человека есть 7 книг по математике, а у второго — 9 книг. Они хотят обменяться по две книги. Давайте разберем шаги для нахождения количества способов обмена. 1. **Выбор книг для обмена:** - Первый человек выбирает 2 книги из своих 7. Для этого мы используем сочетания, поскольку порядок выбора не имеет значения. Количество способов выбрать 2 книги из 7 можно найти по формуле сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее количество книг, а \( k \) — количество книг, которые мы хотим выбрать. Для первого человека: \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] - Второй человек выбирает 2 книги из своих 9: \[ C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \] 2. **Общее количество способов обмена:** Все выборы независимы, поэтому общее количество способов обмена книгами будет произведением количества способов выбора книг первого и второго человека: \[ \text{Общее количество способов} = C(7, 2) \times C(9, 2) = 21 \times 36 \] Теперь вычислим это произведение: \[ 21 \times 36 = 756 \] Таким образом, количество способов, которыми оба человека могут обменяться по двумя книгами, составляет **756**.