Реши
Для того чтобы найти сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, нам нужно знать первый член \( a_1 \) и разность \( d \).
У нас есть два уравнения:
- \( a_{13} = 44 \)
- \( a_{27} = 128 \)
Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]
Подставим известные значения в формулы.
Для \( a_{13} \): \[ a_1 + 12d = 44 \]
Для \( a_{27} \): \[ a_1 + 26d = 128 \]
Теперь решим систему уравнений.
Шаг 1: Найдем разность \( d \).
Вычтем первое уравнение из второго: \[ (a_1 + 26d) - (a_1 + 12d) = 128 - 44 \] \[ 14d = 84 \] \[ d = 6 \]
Шаг 2: Найдем первый член \( a_1 \).
Подставим \( d = 6 \) в первое уравнение: \[ a_1 + 12 \cdot 6 = 44 \] \[ a_1 + 72 = 44 \] \[ a_1 = 44 - 72 \] \[ a_1 = -28 \]
Шаг 3: Найдем сумму первых 15 членов \( S_{15} \).
Формула для суммы первых \( n \) членов: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]
Сначала найдём \( a_{15} \): \[ a_{15} = a_1 + 14d \] \[ a_{15} = -28 + 14 \cdot 6 \] \[ a_{15} = -28 + 84 \] \[ a_{15} = 56 \]
Теперь подставим в формулу для суммы: \[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (-28 + 56) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 28 \] \[ S_{15} = 15 \cdot 14 \] \[ S_{15} = 210 \]
Таким образом, сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии равна 210.
