Реши систему уравнений: x²+y²=100 3x=4y

Для решения системы уравнений: 1. \( x^2 + y^2 = 100 \) (уравнение окружности) 2. \( 3x = 4y \) (линейное уравнение) начнем с того, что выразим одну переменную через другую. Из второго уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{3x}{4} \] Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение: \[ x^2 + \left(\frac{3x}{4}\right)^2 = 100 \] Теперь упростим вторую часть уравнения: \[ x^2 + \frac{9x^2}{16} = 100 \] Объединим \( x^2 \) и \( \frac{9x^2}{16} \). Для этого приведем \( x^2 \) к общему знаменателю: \[ x^2 = \frac{16x^2}{16} \] Теперь сложим дроби: \[ \frac{16x^2}{16} + \frac{9x^2}{16} = \frac{25x^2}{16} \] Теперь подставим это в уравнение: \[ \frac{25x^2}{16} = 100 \] Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 16: \[ 25x^2 = 1600 \] Теперь разделим обе стороны на 25: \[ x^2 = \frac{1600}{25} = 64 \] Теперь найдём \( x \): \[ x = \pm 8 \] Теперь подставим найденные значения \( x \) для нахождения \( y \): 1. Если \( x = 8 \): \[ y = \frac{3 \cdot 8}{4} = 6 \] 2. Если \( x = -8 \): \[ y = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6 \] Таким образом, мы получаем два решения для системы уравнений: 1. \( (8, 6) \) 2. \( (-8, -6) \) Проверим оба решения в исходных уравнениях: 1. Для \( (8, 6) \): - \( 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \) (все верно) - \( 3 \cdot 8 = 24 \) и \( 4 \cdot 6 = 24 \) (все верно) 2. Для \( (-8, -6) \): - \( (-8)^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100 \) (все верно) - \( 3 \cdot (-8) = -24 \) и \( 4 \cdot (-6) = -24 \) (все верно) Таким образом, система уравнений имеет два верных решения: \[ (8, 6) \quad \text{и} \quad (-8, -6) \]