реши систему уравнений: x²+y²=100 3x=4y

Для решения системы уравнений:

1. \( x^2 + y^2 = 100 \) (уравнение окружности)
2. \( 3x = 4y \) (линейное уравнение)

начнем с того, что выразим одну переменную через другую. Из второго уравнения выразим \( y \):

\[ y = \frac{3x}{4} \]

Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{3x}{4}\right)^2 = 100 \]

Теперь упростим вторую часть уравнения:

\[ x^2 + \frac{9x^2}{16} = 100 \]

Объединим \( x^2 \) и \( \frac{9x^2}{16} \). Для этого приведем \( x^2 \) к общему знаменателю:

\[ x^2 = \frac{16x^2}{16} \]

Теперь сложим дроби:

\[ \frac{16x^2}{16} + \frac{9x^2}{16} = \frac{25x^2}{16} \]

Теперь подставим это в уравнение:

\[ \frac{25x^2}{16} = 100 \]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 16:

\[ 25x^2 = 1600 \]

Теперь разделим обе стороны на 25:

\[ x^2 = \frac{1600}{25} = 64 \]

Теперь найдём \( x \):

\[ x = \pm 8 \]

Теперь подставим найденные значения \( x \) для нахождения \( y \):

1. Если \( x = 8 \):

\[ y = \frac{3 \cdot 8}{4} = 6 \]

2. Если \( x = -8 \):

\[ y = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6 \]

Таким образом, мы получаем два решения для системы уравнений:

1. \( (8, 6) \)
2. \( (-8, -6) \)

Проверим оба решения в исходных уравнениях:

1. Для \( (8, 6) \):

   • \( 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \) (все верно)
   • \( 3 \cdot 8 = 24 \) и \( 4 \cdot 6 = 24 \) (все верно)

2. Для \( (-8, -6) \):

   • \( (-8)^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100 \) (все верно)
   • \( 3 \cdot (-8) = -24 \) и \( 4 \cdot (-6) = -24 \) (все верно)

Таким образом, система уравнений имеет два верных решения:

\[ (8, 6) \quad \text{и} \quad (-8, -6) \]