Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник АВС, если A (1; -4), B (4; 7), C (-2; 1)?

Чтобы определить тип треугольника ABC (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный), нам нужно рассмотреть его стороны и углы. Для этого сначала найдем длины сторон треугольника, используя координаты его вершин: A (1; -4), B (4; 7) и C (-2; 1).

Длина стороны треугольника между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) вычисляется по формуле:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Теперь найдем длины каждой стороны:

1. Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (7 - (-4))^2} = \sqrt{(3)^2 + (11)^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130} \]

2. Длина стороны BC: \[ BC = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

3. Длина стороны CA: \[ CA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

Теперь у нас есть длины сторон треугольника ABC:

• \( AB = \sqrt{130} \)
• \( BC = 6\sqrt{2} \)
• \( CA = \sqrt{34} \)

Теперь, чтобы определить тип треугольника, нам нужно проверить углы. Мы можем использовать теорему Пифагора для этого:

• Если \( c^2 = a^2 + b^2 \), треугольник прямоугольный.
• Если \( c^2 > a^2 + b^2 \), треугольник тупоугольный.
• Если \( c^2 < a^2 + b^2 \), треугольник остроугольный.

Сначала представим стороны в порядке убывания их длины:

• \( c = AB = \sqrt{130} \)
• \( a = BC = 6\sqrt{2} \)
• \( b = CA = \sqrt{34} \)

Теперь вычислим квадраты:

1. \( c^2 = 130 \)
2. \( a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72 \)
3. \( b^2 = (\sqrt{34})^2 = 34 \)

Теперь проверим неравенства:

1. \( c^2 \) (130) > \( a^2 + b^2 \) (72 + 34 = 106)
   • \( 130 > 106 \) (угол против стороны \( AB \) тупой)

Таким образом, все условия для определения типа треугольника выполнены, и мы пришли к выводу:

Ответ:

Треугольник ABC является тупоугольным.