доказать sin(a+в)+sin(a-в)=2sina•cosв; найти 1)sin a/2 и cos a/2, если sin a=-√3/2; 2)cos2a и sin2a, если cos a=3/5; 3)sin(180°-45°)•tg(180°+45°)/ cos(180°-45°)•ctg(270°+45°);…

Давайте разберем вашу задачу по частям и дадим объяснения для каждого пункта, начиная с доказательства основного тригонометрического равенства.

1. Доказательство: \( \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin a \cos b \)

Доказательство начинается с использования формул синусов суммы и разности углов:

• \( \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \)
• \( \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \)

Теперь сложим оба выражения:

\[ \sin(a + b) + \sin(a - b) = (\sin a \cos b + \cos a \sin b) + (\sin a \cos b - \cos a \sin b) \]

Здесь \(\cos a \sin b\) и \(-\cos a \sin b\) сокращаются. Это дает:

\[ \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin a \cos b \]

Таким образом, мы доказали равенство.

2. Нахождение \( \sin \frac{a}{2} \) и \( \cos \frac{a}{2} \), если \( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Сначала, определим угол \( a \). Поскольку \( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), это возможно в третий и четвертый квадрантах. Углы, соответствующие этому значению, равны:

• \( a = 240^\circ \) (или \( \frac{4\pi}{3} \) рад)
• \( a = 300^\circ \) (или \( \frac{5\pi}{3} \) рад)

Теперь, чтобы найти \( \sin \frac{a}{2} \) и \( \cos \frac{a}{2} \), используем половинные угловые формулы:

\[ \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}}, \quad \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} \]

Сначала найдем \( \cos a \). Мы знаем, что \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):

\[ \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \cos^2 a = 1 \] \[ \frac{3}{4} + \cos^2 a = 1 \implies \cos^2 a = \frac{1}{4} \implies \cos a = \pm \frac{1}{2} \]

• Для \( a = 240^\circ\), \( \cos a = -\frac{1}{2} \)
• Для \( a = 300^\circ\), \( \cos a = \frac{1}{2} \)

Возьмем \( a = 240^\circ \):

\[ \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{1}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{3/2}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{1}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1/2}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]

3. Нахождение \( \cos 2a \) и \( \sin 2a \), если \( \cos a = \frac{3}{5} \)

Зная \( \cos a \), найдем \( \sin a \):

\[ \sin^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \implies \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \implies \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \sin a = \pm \frac{4}{5} \]

Учитывая, что \( a \) находится в третий или четвертый квадранте, берем \( \sin a = -\frac{4}{5} \).

Используем формулы:

\[ \cos 2a = 2 \cos^2 a - 1 = 2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - 1 = -\frac{7}{25} \]

\[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \left(-\frac{4}{5}\right) \left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} \]

4. Вычисления

4.1 \( \sin(180^\circ - 45^\circ) \cdot \frac{\tan(180^\circ + 45^\circ)}{\cos(180^\circ - 45^\circ) \cdot \cot(270^\circ + 45^\circ)} \)

• \( \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1 \)
• \( \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \cot(270^\circ + 45^\circ) = \cot 315^\circ = 1 \)

Теперь формула:

\[ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1}{-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 \]

4.2 \( \sin 210^\circ \cdot \cos 135^\circ \cdot \tan 390^\circ \cdot \cot 300^\circ \)

• \( \sin 210^\circ = -\frac{1}{2} \)
• \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \tan 390^\circ = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
• \( \cot 300^\circ = \cot(-60^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)

Теперь формула:

\[ -\frac{1}{2} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{(-1)(\sqrt{2})}{4 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{2}}{12} \]

Таким образом, окончательные ответы:

1. \( \sin \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \)
2. \( \cos 2a = -\frac{7}{25}, \quad \sin 2a = -\frac{24}{25} \)
3. Доказательства даны, вычисления завершены и результаты составлены.