Вопрос от Анонимного юзера 13 марта 2025 10:21

Question 1

Доказать sin(a+в)+sin(a-в)=2sina•cosв; найти 1)sin a/2 и cos a/2, если sin a=-√3/2; 2)cos2a и sin2a, если cos a=3/5; 3)sin(180°-45°)•tg(180°+45°)/ cos(180°-45°)•ctg(270°+45°); sin210°•cos135°•tg390°•ctg300°.

Answer

Давайте разберем вашу задачу по частям и дадим объяснения для каждого пункта, начиная с доказательства основного тригонометрического равенства.

1. Доказательство: ( \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin a \cos b )

Доказательство начинается с использования формул синусов суммы и разности углов:

( \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b )
( \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b )

Теперь сложим оба выражения:

[ \sin(a + b) + \sin(a - b) = (\sin a \cos b + \cos a \sin b) + (\sin a \cos b - \cos a \sin b) ]

Здесь (\cos a \sin b) и (-\cos a \sin b) сокращаются. Это дает:

[ \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin a \cos b ]

Таким образом, мы доказали равенство.

2. Нахождение ( \sin \frac{a}{2} ) и ( \cos \frac{a}{2} ), если ( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2} )

Сначала, определим угол ( a ). Поскольку ( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2} ), это возможно в третий и четвертый квадрантах. Углы, соответствующие этому значению, равны:

( a = 240^\circ ) (или ( \frac{4\pi}{3} ) рад)
( a = 300^\circ ) (или ( \frac{5\pi}{3} ) рад)

Теперь, чтобы найти ( \sin \frac{a}{2} ) и ( \cos \frac{a}{2} ), используем половинные угловые формулы:

[ \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}}, \quad \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} ]

Сначала найдем ( \cos a ). Мы знаем, что ( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ):

[ \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \cos^2 a = 1 ] [ \frac{3}{4} + \cos^2 a = 1 \implies \cos^2 a = \frac{1}{4} \implies \cos a = \pm \frac{1}{2} ]

Для ( a = 240^\circ), ( \cos a = -\frac{1}{2} )
Для ( a = 300^\circ), ( \cos a = \frac{1}{2} )

Возьмем ( a = 240^\circ ):

[ \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{1}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{3/2}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

[ \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{1}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1/2}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} ]

3. Нахождение ( \cos 2a ) и ( \sin 2a ), если ( \cos a = \frac{3}{5} )

Зная ( \cos a ), найдем ( \sin a ):

[ \sin^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \implies \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \implies \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} ] [ \sin a = \pm \frac{4}{5} ]

Учитывая, что ( a ) находится в третий или четвертый квадранте, берем ( \sin a = -\frac{4}{5} ).

Используем формулы:

[ \cos 2a = 2 \cos^2 a - 1 = 2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - 1 = -\frac{7}{25} ]

[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \left(-\frac{4}{5}\right) \left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} ]

4. Вычисления

4.1 ( \sin(180^\circ - 45^\circ) \cdot \frac{\tan(180^\circ + 45^\circ)}{\cos(180^\circ - 45^\circ) \cdot \cot(270^\circ + 45^\circ)} )

( \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} )
( \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1 )
( \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} )
( \cot(270^\circ + 45^\circ) = \cot 315^\circ = 1 )

Теперь формула:

[ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1}{-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 ]

4.2 ( \sin 210^\circ \cdot \cos 135^\circ \cdot \tan 390^\circ \cdot \cot 300^\circ )

( \sin 210^\circ = -\frac{1}{2} )
( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} )
( \tan 390^\circ = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} )
( \cot 300^\circ = \cot(-60^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} )

Теперь формула:

[ -\frac{1}{2} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{(-1)(\sqrt{2})}{4 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{2}}{12} ]

Таким образом, окончательные ответы:

( \sin \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{a}{2} = \frac{1}{2} )
( \cos 2a = -\frac{7}{25}, \quad \sin 2a = -\frac{24}{25} )
Доказательства даны, вычисления завершены и результаты составлены.

Question 2

доказать sin(a+в)+sin(a-в)=2sina•cosв; найти 1)sin a/2 и cos a/2, если sin a=-√3/2; 2)cos2a и sin2a, если cos a=3/5; 3)sin(180°-45°)•tg(180°+45°)/ cos(180°-45°)•ctg(270°+45°); sin210°•cos135°•tg390°•ctg300°.

Answer

Давайте разберем вашу задачу по частям и дадим объяснения для каждого пункта, начиная с доказательства основного тригонометрического равенства. ### 1. Доказательство: \( \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin a \cos b \) Доказательство начинается с использования формул синусов суммы и разности углов: - \( \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \) - \( \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \) Теперь сложим оба выражения: \[ \sin(a + b) + \sin(a - b) = (\sin a \cos b + \cos a \sin b) + (\sin a \cos b - \cos a \sin b) \] Здесь \(\cos a \sin b\) и \(-\cos a \sin b\) сокращаются. Это дает: \[ \sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin a \cos b \] Таким образом, мы доказали равенство. ### 2. Нахождение \( \sin \frac{a}{2} \) и \( \cos \frac{a}{2} \), если \( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) Сначала, определим угол \( a \). Поскольку \( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), это возможно в третий и четвертый квадрантах. Углы, соответствующие этому значению, равны: - \( a = 240^\circ \) (или \( \frac{4\pi}{3} \) рад) - \( a = 300^\circ \) (или \( \frac{5\pi}{3} \) рад) Теперь, чтобы найти \( \sin \frac{a}{2} \) и \( \cos \frac{a}{2} \), используем половинные угловые формулы: \[ \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos a}{2}}, \quad \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} \] Сначала найдем \( \cos a \). Мы знаем, что \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \): \[ \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \cos^2 a = 1 \] \[ \frac{3}{4} + \cos^2 a = 1 \implies \cos^2 a = \frac{1}{4} \implies \cos a = \pm \frac{1}{2} \] - Для \( a = 240^\circ\), \( \cos a = -\frac{1}{2} \) - Для \( a = 300^\circ\), \( \cos a = \frac{1}{2} \) Возьмем \( a = 240^\circ \): \[ \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{1}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{3/2}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{1}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1/2}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] ### 3. Нахождение \( \cos 2a \) и \( \sin 2a \), если \( \cos a = \frac{3}{5} \) Зная \( \cos a \), найдем \( \sin a \): \[ \sin^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \implies \sin^2 a + \frac{9}{25} = 1 \implies \sin^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \sin a = \pm \frac{4}{5} \] Учитывая, что \( a \) находится в третий или четвертый квадранте, берем \( \sin a = -\frac{4}{5} \). Используем формулы: \[ \cos 2a = 2 \cos^2 a - 1 = 2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - 1 = -\frac{7}{25} \] \[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \left(-\frac{4}{5}\right) \left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} \] ### 4. Вычисления #### 4.1 \( \sin(180^\circ - 45^\circ) \cdot \frac{\tan(180^\circ + 45^\circ)}{\cos(180^\circ - 45^\circ) \cdot \cot(270^\circ + 45^\circ)} \) - \( \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1 \) - \( \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \cot(270^\circ + 45^\circ) = \cot 315^\circ = 1 \) Теперь формула: \[ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1}{-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 \] #### 4.2 \( \sin 210^\circ \cdot \cos 135^\circ \cdot \tan 390^\circ \cdot \cot 300^\circ \) - \( \sin 210^\circ = -\frac{1}{2} \) - \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \tan 390^\circ = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \) - \( \cot 300^\circ = \cot(-60^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) Теперь формула: \[ -\frac{1}{2} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{(-1)(\sqrt{2})}{4 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{2}}{12} \] Таким образом, окончательные ответы: 1. \( \sin \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \) 2. \( \cos 2a = -\frac{7}{25}, \quad \sin 2a = -\frac{24}{25} \) 3. Доказательства даны, вычисления завершены и результаты составлены.