В сумме П,Я + Т,Ь + Д,Р + О,Б + Е,Й все цифры зашифрованы буквами (разными буквами — разные цифры). Оказалось, что все пять слагаемых не целые, но сама сумма является целым…

Давайте разберём эту задачу.

У нас есть пять дробей: \( П,Я \), \( Т,Ь \), \( Д,Р \), \( О,Б \), \( Е,Й \), где каждая буква — это уникальная цифра от 0 до 9.

Эти дроби в сумме дают целое число. Сами дроби не целые, что значит, что каждая из них имеет ненулевую дробную часть.

Допустим, каждое число представлено в виде \( \frac{А}{10} + \frac{В}{100} \), где \( А \) и \( В \) — цифры. Тогда каждую дробь можно описать так:

• \( П,Я = \frac{10П + Я}{100} \)
• \( Т,Ь = \frac{10Т + Ь}{100} \)
• \( Д,Р = \frac{10Д + Р}{100} \)
• \( О,Б = \frac{10О + Б}{100} \)
• \( Е,Й = \frac{10Е + Й}{100} \)

Сумма всех этих дробей должна быть целым числом:

\[ \frac{10П + Я + 10Т + Ь + 10Д + Р + 10О + Б + 10Е + Й}{100} = n, \]

где \( n \) — целое число. Для этого нужно, чтобы числитель был кратен 100.

Из этого следует:

\[ 10(П + Т + Д + О + Е) + (Я + Ь + Р + Б + Й) = 100n. \]

Мы знаем, что \( П, Я, Т, Ь, Д, Р, О, Б, Е, Й \) — это уникальные цифры от 0 до 9. Следовательно:

\[ Я + Ь + Р + Б + Й = 50, \] а \[ П + Т + Д + О + Е = 5, \] поскольку 10 * 5 = 50.

Пример:

Допустим \( П = 0, Т = 1, Д = 2, О = 3, Е = 4 \).

Тогда:

• \( Я = 9 \), \( Ь = 8 \), \( Р = 7 \), \( Б = 6 \), \( Й = 5 \).

Проверим:

• \( П,Я = 0,9 = \frac{9}{10} \)
• \( Т,Ь = 1,8 = \frac{18}{10} = 1,8 \)
• \( Д,Р = 2,7 = \frac{27}{10} = 2,7 \)
• \( О,Б = 3,6 = \frac{36}{10} = 3,6 \)
• \( Е,Й = 4,5 = \frac{45}{10} = 4,5 \)

Теперь сумма:

\[ 0,9 + 1,8 + 2,7 + 3,6 + 4,5 = 13,5 \]

Других вариантов сумм, кратных 1, не может быть, так как 0,5 дают только указанные дроби. Если заменить цифры, потребуется компенсировать это умножением на \(\frac{10}{10}\) без изменения уникальности цифр.

Таким образом, целым числом, которое может быть получено, является 13,5, что позволяет числителю быть кратным 100, получая 135.