Давайте разберём эту задачу.
У нас есть пять дробей: ( П,Я ), ( Т,Ь ), ( Д,Р ), ( О,Б ), ( Е,Й ), где каждая буква — это уникальная цифра от 0 до 9.
Эти дроби в сумме дают целое число. Сами дроби не целые, что значит, что каждая из них имеет ненулевую дробную часть.
Допустим, каждое число представлено в виде ( \frac{А}{10} + \frac{В}{100} ), где ( А ) и ( В ) — цифры. Тогда каждую дробь можно описать так:
- ( П,Я = \frac{10П + Я}{100} )
- ( Т,Ь = \frac{10Т + Ь}{100} )
- ( Д,Р = \frac{10Д + Р}{100} )
- ( О,Б = \frac{10О + Б}{100} )
- ( Е,Й = \frac{10Е + Й}{100} )
Сумма всех этих дробей должна быть целым числом:
[
\frac{10П + Я + 10Т + Ь + 10Д + Р + 10О + Б + 10Е + Й}{100} = n,
]
где ( n ) — целое число. Для этого нужно, чтобы числитель был кратен 100.
Из этого следует:
[
10(П + Т + Д + О + Е) + (Я + Ь + Р + Б + Й) = 100n.
]
Мы знаем, что ( П, Я, Т, Ь, Д, Р, О, Б, Е, Й ) — это уникальные цифры от 0 до 9. Следовательно:
[
Я + Ь + Р + Б + Й = 50,
]
а
[
П + Т + Д + О + Е = 5,
]
поскольку 10 * 5 = 50.
Пример:
Допустим ( П = 0, Т = 1, Д = 2, О = 3, Е = 4 ).
Тогда:
- ( Я = 9 ), ( Ь = 8 ), ( Р = 7 ), ( Б = 6 ), ( Й = 5 ).
Проверим:
- ( П,Я = 0,9 = \frac{9}{10} )
- ( Т,Ь = 1,8 = \frac{18}{10} = 1,8 )
- ( Д,Р = 2,7 = \frac{27}{10} = 2,7 )
- ( О,Б = 3,6 = \frac{36}{10} = 3,6 )
- ( Е,Й = 4,5 = \frac{45}{10} = 4,5 )
Теперь сумма:
[
0,9 + 1,8 + 2,7 + 3,6 + 4,5 = 13,5
]
Других вариантов сумм, кратных 1, не может быть, так как 0,5 дают только указанные дроби. Если заменить цифры, потребуется компенсировать это умножением на (\frac{10}{10}) без изменения уникальности цифр.
Таким образом, целым числом, которое может быть получено, является 13,5, что позволяет числителю быть кратным 100, получая 135.
