Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем в 500 рублей, 10 билетов с выигрышами по 100 рублей и остальные 89 билетов без выигрышей. Наудачу…

Чтобы решить задачу, давайте сначала найдем математическое ожидание (среднее значение) выигрыша в лотерее.

1. Определяем выигрышные значения:

   • 1 билет выигрышный с суммой 500 рублей.
   • 10 билетов выигрышные с суммой 100 рублей.
   • 89 билетов без выигрыша, сумма выигрыша 0 рублей.

2. Находим вероятность выигрыша каждого типа билета:

   • Вероятность выиграть 500 рублей:
     \( P(500) = \frac{1}{100} = 0.01 \)
   • Вероятность выиграть 100 рублей:
     \( P(100) = \frac{10}{100} = 0.1 \)
   • Вероятность не выиграть (0 рублей):
     \( P(0) = \frac{89}{100} = 0.89 \)

3. Находим математическое ожидание (E): Формула математического ожидания: \[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \] где \( x_i \) — значения выигрышей, а \( P(x_i) \) — соответствующие вероятности.

   Подставим наши данные: \[ E(X) = 500 \cdot P(500) + 100 \cdot P(100) + 0 \cdot P(0) \] \[ E(X) = 500 \cdot 0.01 + 100 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.89 \] \[ E(X) = 5 + 10 + 0 \] \[ E(X) = 15 \text{ рублей} \]

4. Теперь найдем дисперсию (D): Дисперсию можно найти по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

   • Сначала найдем \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(x_i)) \] Для наших значений: \[ E(X^2) = 500^2 \cdot P(500) + 100^2 \cdot P(100) + 0^2 \cdot P(0) \] \[ E(X^2) = 250000 \cdot 0.01 + 10000 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.89 \] \[ E(X^2) = 2500 + 1000 + 0 \] \[ E(X^2) = 3500 \]

   • Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] \[ D(X) = 3500 - (15)^2 \] \[ D(X) = 3500 - 225 \] \[ D(X) = 3275 \]

Итак, результаты:

• Математическое ожидание выигрыша: 15 рублей
• Дисперсия выигрыша: 3275.