Чтобы найти математическое ожидание выигрыша и дисперсию, давайте разберем задачу по шагам.
Шаг 1: Определение вероятностей и значений выигрыша
Мы знаем, что всего изготовлено 100 билетов. Из них:
- 5 билетов выигрывают по 500 рублей.
- 10 билетов выигрывают по 100 рублей.
- Остальные 85 билетов не выигрывают (0 рублей).
Далее определим вероятности для каждого исхода:
Вероятность выигрыша 500 рублей:
( P(500) = \frac{5}{100} = 0.05 )
Вероятность выигрыша 100 рублей:
( P(100) = \frac{10}{100} = 0.1 )
Вероятность выигрыша 0 рублей:
( P(0) = \frac{85}{100} = 0.85 )
Шаг 2: Вычисление математического ожидания
Математическое ожидание ( E(X) ) вычисляется по формуле:
[
E(X) = x_1 P(x_1) + x_2 P(x_2) + x_3 P(x_3)
]
Где:
- ( x_1 = 500 ) (выигрыш)
- ( x_2 = 100 ) (выигрыш)
- ( x_3 = 0 ) (без выигрыша)
Подставляем значения:
[
E(X) = 500 \cdot 0.05 + 100 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.85
]
[
E(X) = 25 + 10 + 0 = 35 \text{ рублей}
]
Шаг 3: Вычисление дисперсии
Дисперсия ( D(X) ) вычисляется по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала находим ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = x_1^2 P(x_1) + x_2^2 P(x_2) + x_3^2 P(x_3)
]
Где:
- ( x_1^2 = 500^2 = 250000 )
- ( x_2^2 = 100^2 = 10000 )
- ( x_3^2 = 0^2 = 0 )
Теперь подставляем:
[
E(X^2) = 250000 \cdot 0.05 + 10000 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.85
]
[
E(X^2) = 12500 + 1000 + 0 = 13500
]
Теперь, подставим в формулу для дисперсии:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала находим ( (E(X))^2 ):
[
(E(X))^2 = 35^2 = 1225
]
Теперь можно вычислить дисперсию:
[
D(X) = 13500 - 1225 = 12275
]
Ответ
Таким образом, мы имеем:
- Математическое ожидание выигрыша: ( 35 ) рублей.
- Дисперсия выигрыша: ( 12275 ).
