Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 5 билет с выигрышем в 500 рублей, 10 билетов с выигрышами по 100 рублей и остальные билетов без выигрышей. Наудачу выбирают…

Чтобы найти математическое ожидание выигрыша и дисперсию, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определение вероятностей и значений выигрыша

Мы знаем, что всего изготовлено 100 билетов. Из них:

• 5 билетов выигрывают по 500 рублей.
• 10 билетов выигрывают по 100 рублей.
• Остальные 85 билетов не выигрывают (0 рублей).

Далее определим вероятности для каждого исхода:

• Вероятность выигрыша 500 рублей:
  \( P(500) = \frac{5}{100} = 0.05 \)

• Вероятность выигрыша 100 рублей:
  \( P(100) = \frac{10}{100} = 0.1 \)

• Вероятность выигрыша 0 рублей:
  \( P(0) = \frac{85}{100} = 0.85 \)

Шаг 2: Вычисление математического ожидания

Математическое ожидание \( E(X) \) вычисляется по формуле: \[ E(X) = x_1 P(x_1) + x_2 P(x_2) + x_3 P(x_3) \]

Где:

• \( x_1 = 500 \) (выигрыш)
• \( x_2 = 100 \) (выигрыш)
• \( x_3 = 0 \) (без выигрыша)

Подставляем значения: \[ E(X) = 500 \cdot 0.05 + 100 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.85 \] \[ E(X) = 25 + 10 + 0 = 35 \text{ рублей} \]

Шаг 3: Вычисление дисперсии

Дисперсия \( D(X) \) вычисляется по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала находим \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = x_1^2 P(x_1) + x_2^2 P(x_2) + x_3^2 P(x_3) \] Где:

• \( x_1^2 = 500^2 = 250000 \)
• \( x_2^2 = 100^2 = 10000 \)
• \( x_3^2 = 0^2 = 0 \)

Теперь подставляем: \[ E(X^2) = 250000 \cdot 0.05 + 10000 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.85 \] \[ E(X^2) = 12500 + 1000 + 0 = 13500 \]

Теперь, подставим в формулу для дисперсии: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Сначала находим \( (E(X))^2 \): \[ (E(X))^2 = 35^2 = 1225 \]

Теперь можно вычислить дисперсию: \[ D(X) = 13500 - 1225 = 12275 \]

Ответ

Таким образом, мы имеем:

• Математическое ожидание выигрыша: \( 35 \) рублей.
• Дисперсия выигрыша: \( 12275 \).