Даны векторы (6; 16) и (k; -4). При каком значении k векторы и перпендикулярны?

Чтобы два вектора были перпендикулярны, скалярное произведение этих векторов должно равняться нулю. Давайте разберёмся с данной задачей шаг за шагом.

Шаг 1: Определим векторы

У нас есть два вектора:

1. \( \mathbf{a} = (6; 16) \)
2. \( \mathbf{b} = (k; -4) \)

Шаг 2: Запишем формулу для скалярного произведения

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) рассчитывается следующим образом:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \]

Где:

• \( a_1 \) и \( a_2 \) — компоненты вектора \( \mathbf{a} \) (соответственно 6 и 16)
• \( b_1 \) и \( b_2 \) — компоненты вектора \( \mathbf{b} \) (соответственно \( k \) и -4)

Шаг 3: Подставим значения в формулу

Теперь подставим значения:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6 \cdot k + 16 \cdot (-4) \]

Шаг 4: Упростим выражение

Упрощаем уравнение:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6k - 64 \]

Шаг 5: Установим условие для перпендикулярности

Для того чтобы векторы были перпендикулярны, скалярное произведение должно равняться нулю:

\[ 6k - 64 = 0 \]

Шаг 6: Решим уравнение

Теперь решим уравнение для \( k \):

\[ 6k = 64 \] \[ k = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \approx 10.67 \]

Ответ

Таким образом, значение \( k \), при котором векторы \( (6; 16) \) и \( (k; -4) \) будут перпендикулярны, равно \( \frac{32}{3} \) или примерно \( 10.67 \).

Если у вас остались вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!