Три стрелка стреляют по мишени, Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго и третьего–0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадают только двое стрелков.
Для решения этой задачи воспользуемся правилами вероятности, а именно определим вероятность того, что ровно два стрелка попадут в мишень, а один промахнется.
Обозначим:
- \( P_1 = 0,7 \) — вероятность попадания первого стрелка;
- \( P_2 = 0,8 \) — вероятность попадания второго стрелка;
- \( P_3 = 0,8 \) — вероятность попадания третьего стрелка.
Вероятности промаха стрелков можно вычислить как:
- \( Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,7 = 0,3 \) — вероятность промаха первого стрелка;
- \( Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,8 = 0,2 \) — вероятность промаха второго стрелка;
- \( Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,8 = 0,2 \) — вероятность промаха третьего стрелка.
Теперь мы можем посчитать вероятность того, что попадают только два стрелка в мишень. Это может произойти в трех случаях:
1. Первый и второй стрелки попадают, а третий промахивается.
2. Первый и третий стрелки попадают, а второй промахивается.
3. Второй и третий стрелки попадают, а первый промахивается.
Посчитаем вероятность для каждого из этих случаев:
1. Вероятность попадания первого и второго стрелков и промаха третьего:
\[
P(1 \text{ и } 2 \text{ попадают, } 3 \text{ промахивается}) = P_1 \cdot P_2 \cdot Q_3 = 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,112.
\]
2. Вероятность попадания первого и третьего стрелков и промаха второго:
\[
P(1 \text{ и } 3 \text{ попадают, } 2 \text{ промахивается}) = P_1 \cdot Q_2 \cdot P_3 = 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 0,112.
\]
3. Вероятность попадания второго и третьего стрелков и промаха первого:
\[
P(2 \text{ и } 3 \text{ попадают, } 1 \text{ промахивается}) = Q_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,192.
\]
Теперь суммируем эти вероятности:
\[
P(\text{только двое попадают}) = P(1 \text{ и } 2 \text{ попадают, } 3 \text{ промахивается}) + P(1 \text{ и } 3 \text{ попадают, } 2 \text{ промахивается}) + P(2 \text{ и } 3 \text{ попадают, } 1 \text{ промахивается}).
\]
\[
P(\text{только двое попадает}) = 0,112 + 0,112 + 0,192 = 0,416.
\]
Таким образом, вероятность того, что при одном залпе в мишень попадают только двое стрелков, составляет \( 0,416 \) или \( 41,6\% \).
