X+6/x-2>=0 решить неравенство

Чтобы решить неравенство \(\frac{x+6}{x-2} \geq 0\), следуем алгоритму: ### Шаг 1: Определение области определения Для начала определим, при каких значениях \(x\) дробь имеет смысл. В данном случае, дробь \(\frac{x+6}{x-2}\) не определена, когда знаменатель равен нулю: \[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \] Это значение исключается из области определения. Таким образом, \(x \neq 2\). ### Шаг 2: Определение знака выражения Теперь определим, когда выражение равно нулю и когда оно положительно. Для этого найдем корень числителя: \[ x + 6 = 0 \implies x = -6 \] Теперь у нас есть важные точки: \(x = -6\) (где дробь равна нулю) и \(x = 2\) (где дробь не определена). Оставшиеся интервалы для проверки знака будут: - \((- \infty, -6)\) - \((-6, 2)\) - \((2, +\infty)\) ### Шаг 3: Проверка знака в интервалах Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение \(\frac{x+6}{x-2}\) для определения знака: 1. **Интервал \((- \infty, -6)\)**: возьмем \(x = -7\). \[ \frac{-7 + 6}{-7 - 2} = \frac{-1}{-9} > 0 \] (Положительный знак) 2. **Интервал \((-6, 2)\)**: возьмем \(x = 0\). \[ \frac{0 + 6}{0 - 2} = \frac{6}{-2} = -3 < 0 \] (Отрицательный знак) 3. **Интервал \((2, +\infty)\)**: возьмем \(x = 3\). \[ \frac{3 + 6}{3 - 2} = \frac{9}{1} = 9 > 0 \] (Положительный знак) ### Шаг 4: Запись решения Теперь определим, в каких интервалах наша дробь \(\geq 0\): - На интервале \((- \infty, -6)\) дробь положительна. - На интервале \((-6, 2)\) дробь отрицательна. - На интервале \((2, +\infty)\) дробь положительна. Также не забываем про значение \(-6\), так как в этой точке дробь равна нулю. Точка \(x = 2\) исключается, поскольку выражение не определено. ### Окончательный ответ Таким образом, решением неравенства \(\frac{x + 6}{x - 2} \geq 0\) является: \[ x \in (-\infty, -6] \cup (2, +\infty) \]