x+6/x-2>=0 решить неравенство

Чтобы решить неравенство \(\frac{x+6}{x-2} \geq 0\), следуем алгоритму:

Шаг 1: Определение области определения

Для начала определим, при каких значениях \(x\) дробь имеет смысл. В данном случае, дробь \(\frac{x+6}{x-2}\) не определена, когда знаменатель равен нулю:

\[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \]

Это значение исключается из области определения. Таким образом, \(x \neq 2\).

Шаг 2: Определение знака выражения

Теперь определим, когда выражение равно нулю и когда оно положительно. Для этого найдем корень числителя:

\[ x + 6 = 0 \implies x = -6 \]

Теперь у нас есть важные точки: \(x = -6\) (где дробь равна нулю) и \(x = 2\) (где дробь не определена). Оставшиеся интервалы для проверки знака будут:

• \((- \infty, -6)\)
• \((-6, 2)\)
• \((2, +\infty)\)

Шаг 3: Проверка знака в интервалах

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение \(\frac{x+6}{x-2}\) для определения знака:

1. Интервал \((- \infty, -6)\): возьмем \(x = -7\). \[ \frac{-7 + 6}{-7 - 2} = \frac{-1}{-9} > 0 \] (Положительный знак)

2. Интервал \((-6, 2)\): возьмем \(x = 0\). \[ \frac{0 + 6}{0 - 2} = \frac{6}{-2} = -3 < 0 \] (Отрицательный знак)

3. Интервал \((2, +\infty)\): возьмем \(x = 3\). \[ \frac{3 + 6}{3 - 2} = \frac{9}{1} = 9 > 0 \] (Положительный знак)

Шаг 4: Запись решения

Теперь определим, в каких интервалах наша дробь \(\geq 0\):

• На интервале \((- \infty, -6)\) дробь положительна.
• На интервале \((-6, 2)\) дробь отрицательна.
• На интервале \((2, +\infty)\) дробь положительна.

Также не забываем про значение \(-6\), так как в этой точке дробь равна нулю. Точка \(x = 2\) исключается, поскольку выражение не определено.

Окончательный ответ

Таким образом, решением неравенства \(\frac{x + 6}{x - 2} \geq 0\) является:

\[ x \in (-\infty, -6] \cup (2, +\infty) \]