(2x-1)•(2-x)>0

Чтобы решить неравенство \((2x-1) \cdot (2-x) > 0\), давайте разберемся с ним пошагово. ### Шаг 1: Найдем нули выражения Для начала, мы можем найти, когда произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю. 1. **Первый множитель:** \[ 2x - 1 = 0 \] Решим это уравнение: \[ 2x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \] 2. **Второй множитель:** \[ 2 - x = 0 \] Решим это уравнение: \[ x = 2 \] Теперь мы знаем, что выражение будет равно нулю при \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 2 \). ### Шаг 2: Определим промежутки Теперь мы определим знаки произведения в интервалах, разделенных найденными нулями: - \((-\infty, \frac{1}{2})\) - \((\frac{1}{2}, 2)\) - \((2, +\infty)\) ### Шаг 3: Проверим знаки на каждом промежутке 1. **На интервале \((-\infty, \frac{1}{2})\)**: Выберем, например, \(x = 0\): \[ (2 \cdot 0 - 1) \cdot (2 - 0) = (-1) \cdot 2 = -2 < 0 \] Значит, на этом интервале произведение отрицательно. 2. **На интервале \((\frac{1}{2}, 2)\)**: Выберем, например, \(x = 1\): \[ (2 \cdot 1 - 1) \cdot (2 - 1) = (2 - 1) \cdot (1) = 1 > 0 \] Значит, на этом интервале произведение положительно. 3. **На интервале \((2, +\infty)\)**: Выберем, например, \(x = 3\): \[ (2 \cdot 3 - 1) \cdot (2 - 3) = (6 - 1) \cdot (-1) = 5 \cdot (-1) = -5 < 0 \] Значит, на этом интервале произведение отрицательно. ### Шаг 4: Запишем результаты Теперь у нас есть следующие данные: - На интервале \((-\infty, \frac{1}{2})\) выражение отрицательно. - На интервале \((\frac{1}{2}, 2)\) выражение положительно. - На интервале \((2, +\infty)\) выражение отрицательно. ### Шаг 5: Запишем решение неравенства Неравенство \((2x-1)(2-x) > 0\) выполняется в интервале, где мы нашли положительные значения. Это значит, что решение неравенства: \[ x \in \left(\frac{1}{2}, 2\right) \] ### Итог Ответ: \( x \in \left(\frac{1}{2}, 2\right) \). Таким образом, это - все значения \( x \), при которых произведение \((2x-1)(2-x)\) положительно.