(2x-1)•(2-x)>0

Чтобы решить неравенство \((2x-1) \cdot (2-x) > 0\), давайте разберемся с ним пошагово.

Шаг 1: Найдем нули выражения

Для начала, мы можем найти, когда произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю.

1. Первый множитель: \[ 2x - 1 = 0 \] Решим это уравнение: \[ 2x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \]

2. Второй множитель: \[ 2 - x = 0 \] Решим это уравнение: \[ x = 2 \]

Теперь мы знаем, что выражение будет равно нулю при \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 2 \).

Шаг 2: Определим промежутки

Теперь мы определим знаки произведения в интервалах, разделенных найденными нулями:

• \((-\infty, \frac{1}{2})\)
• \((\frac{1}{2}, 2)\)
• \((2, +\infty)\)

Шаг 3: Проверим знаки на каждом промежутке

1. На интервале \((-\infty, \frac{1}{2})\): Выберем, например, \(x = 0\): \[ (2 \cdot 0 - 1) \cdot (2 - 0) = (-1) \cdot 2 = -2 < 0 \] Значит, на этом интервале произведение отрицательно.

2. На интервале \((\frac{1}{2}, 2)\): Выберем, например, \(x = 1\): \[ (2 \cdot 1 - 1) \cdot (2 - 1) = (2 - 1) \cdot (1) = 1 > 0 \] Значит, на этом интервале произведение положительно.

3. На интервале \((2, +\infty)\): Выберем, например, \(x = 3\): \[ (2 \cdot 3 - 1) \cdot (2 - 3) = (6 - 1) \cdot (-1) = 5 \cdot (-1) = -5 < 0 \] Значит, на этом интервале произведение отрицательно.

Шаг 4: Запишем результаты

Теперь у нас есть следующие данные:

• На интервале \((-\infty, \frac{1}{2})\) выражение отрицательно.
• На интервале \((\frac{1}{2}, 2)\) выражение положительно.
• На интервале \((2, +\infty)\) выражение отрицательно.

Шаг 5: Запишем решение неравенства

Неравенство \((2x-1)(2-x) > 0\) выполняется в интервале, где мы нашли положительные значения. Это значит, что решение неравенства:

\[ x \in \left(\frac{1}{2}, 2\right) \]

Итог

Ответ: \( x \in \left(\frac{1}{2}, 2\right) \).

Таким образом, это - все значения \( x \), при которых произведение \((2x-1)(2-x)\) положительно.