Давайте решим уравнение:
[
\frac{6}{x+1} = \frac{x^2 - 5x}{x+1}
]
Первым шагом умножим обе стороны уравнения на (x+1), чтобы избавиться от знаменателя:
[
6 = x^2 - 5x
]
Теперь приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
[
x^2 - 5x - 6 = 0
]
Это квадратное уравнение, которое мы можем решить разложением на множители. Найдем два числа, произведение которых равно (-6) (постоянный член), а сумма равна (-5) (коэффициент при (x)).
Такими числами будут (-6) и (1). Раскладываем квадратное уравнение:
[
x^2 - 6x + x - 6 = 0
]
Сгруппируем и вынесем за скобки:
[
x(x - 6) + 1(x - 6) = 0
]
Вынесем общий множитель ((x - 6)):
[
(x - 6)(x + 1) = 0
]
Теперь найдем корни уравнения:
- (x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6)
- (x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1)
Проверим корни в контексте исходного уравнения. Поскольку в исходном уравнении есть знаменатель (x + 1), корень (x = -1) приведет к делению на ноль, значит, он не подходит.
Единственным допустимым решением является (x = 6).
Ответ: (x = 6).
