Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках F и D соответственно так, что FD параллельна АС, ВD:DC = 2:5. Найдите периметр треугольника FBD, если периметр треугольника ABC…

Для решения задачи используем теорему о пропорциональности отрезков, которую обеспечивает параллельность прямых.

Пусть \(AB\) и \(AC\) - стороны треугольника \(ABC\). Поскольку прямая \(FD\) параллельна стороне \(AC\), отрезки \(BD\) и \(DC\) будут пропорциональны отрезкам \(AB\) и \(AC\) соответственно.

Согласно условию, \(BD:DC = 2:5\). Обозначим \(BD = 2k\) и \(DC = 5k\) для некоторого \(k\). Тогда длина стороны \(BC\) равна:

\[ BC = BD + DC = 2k + 5k = 7k. \]

Обозначим сторону \(AB\) как \(c\) и сторону \(AC\) как \(b\). Периметр треугольника \(ABC\) равен:

\[ AB + AC + BC = c + b + 7k = 49 \text{ см.} \]

Полная длина отрезков \(BD\) и \(DC\) образует треугольник \(FBD\), который является подобием треугольнику \(ABC\) в соответствии с правилом подобия (из-за параллельности).

Так как \(FD\) параллельно \(AC\), то периметр треугольника \(FBD\) можно найти по коэффициенту подобия. Точки \(F\) и \(D\) делят стороны \(AB\) и \(AC\) на те же пропорции. Таким образом, коэффициент подобия треугольника \(FBD\) к треугольнику \(ABC\) равен:

\[ \frac{BD}{BC} = \frac{2k}{7k} = \frac{2}{7}. \]

Периметр треугольника \(FBD\) будет равен:

\[ \text{Периметр } FBD = \frac{2}{7} \cdot \text{Периметр } ABC = \frac{2}{7} \cdot 49 \text{ см} = 14 \text{ см}. \]

Таким образом, периметр треугольника \(FBD\) равен \(14\) см.