Задание № 16 Фигура ограничена линиями у = x3 + 1, x = 1, x = 0, у = 0. К графику функции у = x3 + 1 проведена касательная так, чтобы отсечь от фигуры трапецию нанбольшей площади. Плошадь этой трапеции равна (Ответ введите с точностью до тысячных.)

Question 1

Задача Задача №2953129

А

Аноним

13 марта 2025 14:34 · публичный вопрос

А

Аноним 13 марта 2025 14:34

Задание № 16 Фигура ограничена линиями у = x3 + 1, x = 1, x = 0, у = 0. К графику функции у = x3 + 1 проведена касательная так, чтобы отсечь от фигуры трапецию нанбольшей площади. Плошадь этой трапеции равна (Ответ введите с точностью до тысячных.)

Answer

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем ее по шагам.

Шаг 1: Построение графика функции

Функция \( y = x^3 + 1 \) – это кубическая функция, которая пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 1) \) и имеет ноль производной в точке, где ее касательная будет проведена.

Шаг 2: Определение области

Фигуру ограничивают следующие линии:

\( y = x^3 + 1 \)
\( x = 1 \)
\( x = 0 \)
\( y = 0 \)

График функции \( y = x^3 + 1 \) между \( x = 0 \) и \( x = 1 \) можно нарисовать для визуализации фигуры.

Шаг 3: Касательная к графику функции

Нам нужна касательная линия к графику функции. Для этого сначала найдем производную функции:

\[ y' = 3x^2 \]

Теперь, давайте найдем координаты точки касания. Обозначим эту точку как \( (a, a^3 + 1) \), где \( 0 < a < 1 \).

Шаг 4: Уравнение касательной

Уравнение касательной линии можно записать в виде:

\[ y - (a^3 + 1) = 3a^2(x - a) \]

Это можно упростить до:

\[ y = 3a^2 x - 3a^3 + a^3 + 1 \] \[ y = 3a^2 x - 2a^3 + 1 \]

Шаг 5: Найти точку пересечения касательной с осью \( x \)

Для нахождения точки пересечения касательной с осью \( x \) (где \( y = 0 \)), мы решим:

\[ 0 = 3a^2 x - 2a^3 + 1 \] \[ 3a^2 x = 2a^3 - 1 \] \[ x = \frac{2a^3 - 1}{3a^2} \]

Шаг 6: Площадь трапеции

Трапеция, образованная касательной, осью \( x \) и вертикальными линиями \( x = 0 \) и \( x = 1 \), будет иметь основания \( y = 0 \) (основание 1) и \( y = 3a^2 \) (основание 2).

Площадь трапеции можно выразить через формулу:

\[ S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \]

где:

\( b_1 = 0 \) (высота на оси \( y \)),
\( b_2 = 3a^2 \) (высота касательной в точке \( x = 1 \)),
\( h = 1 \) (разность \( x \)-координат).

Таким образом, площадь трапеции будет:

\[ S = \frac{(0 + 3a^2) \cdot 1}{2} = \frac{3a^2}{2} \]

Шаг 7: Найти максимальную площадь

Для нахождения максимума этой площади, мы можем взять производную от \( S \) по \( a \) и приравнять к нулю:

\[ \frac{dS}{da} = 3a \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 3a = 0 \Rightarrow a = 0 \]

Теперь найдем максимальную площадь, подставляя значения \( a = 1 \):

\[ S = \frac{3(1^2)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Ответ

Площадь трапеции, ограниченной данной фигурой, равна \( \mathbf{1.500} \).

Question 2

Задание № 16 Фигура ограничена линиями у = x3 + 1, x = 1, x = 0, у = 0. К графику функции у = x3 + 1 проведена касательная так, чтобы отсечь от фигуры трапецию нанбольшей площади. Плошадь этой трапеции равна (Ответ введите с точностью до тысячных.)

Answer

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем ее по шагам. ### Шаг 1: Построение графика функции Функция \( y = x^3 + 1 \) – это кубическая функция, которая пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 1) \) и имеет ноль производной в точке, где ее касательная будет проведена. ### Шаг 2: Определение области Фигуру ограничивают следующие линии: - \( y = x^3 + 1 \) - \( x = 1 \) - \( x = 0 \) - \( y = 0 \) График функции \( y = x^3 + 1 \) между \( x = 0 \) и \( x = 1 \) можно нарисовать для визуализации фигуры. ### Шаг 3: Касательная к графику функции Нам нужна касательная линия к графику функции. Для этого сначала найдем производную функции: \[ y' = 3x^2 \] Теперь, давайте найдем координаты точки касания. Обозначим эту точку как \( (a, a^3 + 1) \), где \( 0 < a < 1 \). ### Шаг 4: Уравнение касательной Уравнение касательной линии можно записать в виде: \[ y - (a^3 + 1) = 3a^2(x - a) \] Это можно упростить до: \[ y = 3a^2 x - 3a^3 + a^3 + 1 \] \[ y = 3a^2 x - 2a^3 + 1 \] ### Шаг 5: Найти точку пересечения касательной с осью \( x \) Для нахождения точки пересечения касательной с осью \( x \) (где \( y = 0 \)), мы решим: \[ 0 = 3a^2 x - 2a^3 + 1 \] \[ 3a^2 x = 2a^3 - 1 \] \[ x = \frac{2a^3 - 1}{3a^2} \] ### Шаг 6: Площадь трапеции Трапеция, образованная касательной, осью \( x \) и вертикальными линиями \( x = 0 \) и \( x = 1 \), будет иметь основания \( y = 0 \) (основание 1) и \( y = 3a^2 \) (основание 2). Площадь трапеции можно выразить через формулу: \[ S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \] где: - \( b_1 = 0 \) (высота на оси \( y \)), - \( b_2 = 3a^2 \) (высота касательной в точке \( x = 1 \)), - \( h = 1 \) (разность \( x \)-координат). Таким образом, площадь трапеции будет: \[ S = \frac{(0 + 3a^2) \cdot 1}{2} = \frac{3a^2}{2} \] ### Шаг 7: Найти максимальную площадь Для нахождения максимума этой площади, мы можем взять производную от \( S \) по \( a \) и приравнять к нулю: \[ \frac{dS}{da} = 3a \] Приравняем производную к нулю: \[ 3a = 0 \Rightarrow a = 0 \] Теперь найдем максимальную площадь, подставляя значения \( a = 1 \): \[ S = \frac{3(1^2)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \] ### Ответ Площадь трапеции, ограниченной данной фигурой, равна \( \mathbf{1.500} \).