Чтобы решить эту задачу, давайте разберем ее по шагам.
Шаг 1: Построение графика функции
Функция ( y = x^3 + 1 ) – это кубическая функция, которая пересекает ось ( y ) в точке ( (0, 1) ) и имеет ноль производной в точке, где ее касательная будет проведена.
Шаг 2: Определение области
Фигуру ограничивают следующие линии:
- ( y = x^3 + 1 )
- ( x = 1 )
- ( x = 0 )
- ( y = 0 )
График функции ( y = x^3 + 1 ) между ( x = 0 ) и ( x = 1 ) можно нарисовать для визуализации фигуры.
Шаг 3: Касательная к графику функции
Нам нужна касательная линия к графику функции. Для этого сначала найдем производную функции:
[
y' = 3x^2
]
Теперь, давайте найдем координаты точки касания. Обозначим эту точку как ( (a, a^3 + 1) ), где ( 0 < a < 1 ).
Шаг 4: Уравнение касательной
Уравнение касательной линии можно записать в виде:
[
y - (a^3 + 1) = 3a^2(x - a)
]
Это можно упростить до:
[
y = 3a^2 x - 3a^3 + a^3 + 1
]
[
y = 3a^2 x - 2a^3 + 1
]
Шаг 5: Найти точку пересечения касательной с осью ( x )
Для нахождения точки пересечения касательной с осью ( x ) (где ( y = 0 )), мы решим:
[
0 = 3a^2 x - 2a^3 + 1
]
[
3a^2 x = 2a^3 - 1
]
[
x = \frac{2a^3 - 1}{3a^2}
]
Шаг 6: Площадь трапеции
Трапеция, образованная касательной, осью ( x ) и вертикальными линиями ( x = 0 ) и ( x = 1 ), будет иметь основания ( y = 0 ) (основание 1) и ( y = 3a^2 ) (основание 2).
Площадь трапеции можно выразить через формулу:
[
S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2}
]
где:
- ( b_1 = 0 ) (высота на оси ( y )),
- ( b_2 = 3a^2 ) (высота касательной в точке ( x = 1 )),
- ( h = 1 ) (разность ( x )-координат).
Таким образом, площадь трапеции будет:
[
S = \frac{(0 + 3a^2) \cdot 1}{2} = \frac{3a^2}{2}
]
Шаг 7: Найти максимальную площадь
Для нахождения максимума этой площади, мы можем взять производную от ( S ) по ( a ) и приравнять к нулю:
[
\frac{dS}{da} = 3a
]
Приравняем производную к нулю:
[
3a = 0 \Rightarrow a = 0
]
Теперь найдем максимальную площадь, подставляя значения ( a = 1 ):
[
S = \frac{3(1^2)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5
]
Ответ
Площадь трапеции, ограниченной данной фигурой, равна ( \mathbf{1.500} ).
