В ящике 12 белых и 18 черных шаров. Произвольным образом извлекают 5 шаров. какова вероятность того, что среди этих шаров 3 белых 2 черных
Для решения задачи о вероятности извлечения шаров, давайте сначала разберем условия. У нас есть ящик с 12 белыми и 18 черными шарами, всего 30 шаров. Мы хотим определить вероятность того, что среди 5 случайно извлеченных шаров будет 3 белых и 2 черных.
Шаг 1: Общее количество способов выбрать 5 шаров
Общее количество способов выбрать 5 шаров из 30 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где \(C(n, k)\) — количество сочетаний из \(n\) по \(k\), а \(n!\) — факториал числа \(n\).
Для 30 шаров и выбора 5, вычисляем:
\[ C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30!}{5! \cdot 25!} \]
Шаг 2: Количество способов выбрать 3 белых и 2 черных шара
Теперь нам нужно найти, сколько способов можно выбрать 3 белых шара из 12 и 2 черных шара из 18.
Сначала вычислим количество способов выбрать 3 белых шара:
\[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} \]
Теперь вычислим количество способов выбрать 2 черных шара:
\[ C(18, 2) = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18!}{2! \cdot 16!} \]
Шаг 3: Общее количество способов выбрать 3 белых и 2 черных шара
Теперь мы можем найти общее количество способов выбрать 3 белых и 2 черных шара, перемножив оба результата:
\[ C(12, 3) \cdot C(18, 2) \]
Шаг 4: Вычисляем вероятности
Используя найденные значения, вероятность того, что среди извлеченных шаров будут 3 белых и 2 черных можно вычислить по формуле:
\[ P(3 \text{ белых и } 2 \text{ черных}) = \frac{C(12, 3) \cdot C(18, 2)}{C(30, 5)} \]
Шаг 5: Подсчеты
Чтобы получить окончательные значения, надо выполнить все вычисления:
- Вычисление \(C(30, 5)\):
\[ C(30, 5) = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{120} = 142506 \]
- Вычисление \(C(12, 3)\):
\[ C(12, 3) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 \]
- Вычисление \(C(18, 2)\):
\[ C(18, 2) = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 153 \]
- Общее количество способов выбрать 3 белых и 2 черных:
\[ C(12, 3) \cdot C(18, 2) = 220 \cdot 153 = 33760 \]
- Вычисление вероятности:
\[ P(3 \text{ белых и } 2 \text{ черных}) = \frac{33760}{142506} \approx 0.236 \]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что среди извлеченных 5 шаров будет 3 белых и 2 черных, составляет приблизительно 0.236, или 23.6%.
