Решим обе задачи по порядку.
Задача i
Условие:
В орфографическом словарике 120 страниц, на каждой странице по 60 слов. Петя открыл словарь на случайной странице и загадал случайное слово с этой страницы. Сможет ли Витя угадать его за 13 вопросов? А за меньшее число?
Решение:
Для начала определим общее количество слов в словаре:
[
120 \text{ страниц} \times 60 \text{ слов/страница} = 7200 \text{ слов}
]
Теперь, чтобы Витя мог угадать загаданное слово, мы можем использовать стратегию "да/нет" для задавания вопросов. Каждое показанное слово делит оставшееся множество слов пополам, что позволяет максимально эффективно находить искомое слово.
Мы можем определить, сколько вопросов нужно задать для поиска загаданного слова среди 7200 слов:
Количество слов, которые может угадать Витя за ( n ) вопросов, вычисляется формулой:
[
2^n
]
Теперь найдем минимальное количество вопросов ( n ), при котором ( 2^n \geq 7200 ).
Подберем ( n ):
- ( n = 12: \quad 2^{12} = 4096 ) (мало)
- ( n = 13: \quad 2^{13} = 8192 ) (достаточно)
Таким образом, Витя сможет угадать слово, используя 13 вопросов.
Ответ: Витя сможет угадать слово за 13 вопросов. Меньше — не сможет, так как 12 вопросов недостаточно для охвата всех слов.
Задача ii
Условие:
Петя загадывает два натуральных числа от 1 до 10 — одно четное и одно нечетное. Помогите Вите угадать эти числа за 5 вопросов.
Решение:
Нам нужно понять, сколько уникальных комбинаций чисел может загадать Петя. Четные числа от 1 до 10: 2, 4, 6, 8, 10 (всего 5 чисел). Нечетные числа от 1 до 10: 1, 3, 5, 7, 9 (также всего 5 чисел).
Таким образом, общее количество комбинаций, где одно число четное, а другое нечетное, будет:
[
5 \text{ четных} \times 5 \text{ нечетных} = 25 \text{ комбинаций}
]
Теперь, чтобы угадать одну из 25 комбинаций, нам снова нужно применить стратегию "да/нет". Как и в предыдущем случае, мы можем определить количество вопросов, необходимых для нахождения искомой пары чисел:
Ниже изложим общее количество ответов для каждого количества вопросов:
[
2^n \geq 25
]
Подбор:
- ( n = 4: \quad 2^4 = 16 ) (мало)
- ( n = 5: \quad 2^5 = 32 ) (достаточно)
Таким образом, Вите потребуется 5 вопросов, чтобы угадать четное и нечётное числа.
Ответ: Витя сможет угадать два числа за 5 вопросов. Меньше — не сможет, так как 4 вопросов не достаточно для охвата всех комбинаций.
