Выполнить действия: а) (cos 5π/6 + i sin 5π/6) • (cos 2π/3 + i sin 2π/3) б)(-1 - √3i)⁸

Давайте решим обе задачи шаг за шагом. ### Задача а) **Дано:** \[ z_1 = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \] \[ z_2 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \] Это комплексные числа в тригонометрической форме. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме осуществляется по следующей формуле: \[ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) \] где \( r_1 \) и \( r_2 \) — модули чисел (в данном случае равны 1), а \( \theta_1 \) и \( \theta_2 \) — аргументы. 1. Найдем углы: - \( \theta_1 = \frac{5\pi}{6} \) - \( \theta_2 = \frac{2\pi}{3} \) 2. Теперь найдем сумму углов: \[ \theta_1 + \theta_2 = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} \] Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель: \[ \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} \] Теперь можно сложить: \[ \theta_1 + \theta_2 = \frac{5\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \] 3. Теперь подставляем в формулу: \[ z_1 \cdot z_2 = 1 \cdot 1 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) \] 4. Находим значения косинуса и синуса: \[ \cos \frac{3\pi}{2} = 0\quad \text{и} \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \] Таким образом, \[ z_1 \cdot z_2 = 0 + (-1)i = -i \] **Ответ на задачу а:** \(-i\) ### Задача б) **Дано:** \[ (-1 - \sqrt{3}i)^8 \] Для решения этой задачи преобразуем комплексное число в тригонометрическую форму. 1. **Находим модуль:** \[ r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] 2. **Находим аргумент:** \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) \] Поскольку комплексное число находится в третьем квадранте: \[ \theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \] 3. Таким образом, можно записать: \[ -1 - \sqrt{3}i = 2\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right) \] 4. **Теперь возведем в степень 8:** \[ (-1 - \sqrt{3}i)^8 = 2^8\left(\cos\left(8 \cdot \frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(8 \cdot \frac{4\pi}{3}\right)\right) \] \[ = 256\left(\cos\left(\frac{32\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{32\pi}{3}\right)\right) \] 5. Упрощаем угол \( \frac{32\pi}{3} \): \[ \frac{32\pi}{3} = 10\pi + \frac{2\pi}{3} \] Это эквивалентно \( \frac{2\pi}{3} \) (так как каждый полный круг \( 2\pi \) можно вычесть). 6. Находим косинус и синус: \[ \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 7. Подставляем: \[ 256\left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -128 + 128\sqrt{3}i \] **Ответ на задачу б:** \(-128 + 128\sqrt{3}i\)