Выполнить действия: а) (cos 5π/6 + i sin 5π/6) • (cos 2π/3 + i sin 2π/3) б)(-1 - √3i)⁸

Давайте решим обе задачи шаг за шагом.

Задача а)

Дано: \[ z_1 = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \] \[ z_2 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \]

Это комплексные числа в тригонометрической форме. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме осуществляется по следующей формуле: \[ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right) \] где \( r_1 \) и \( r_2 \) — модули чисел (в данном случае равны 1), а \( \theta_1 \) и \( \theta_2 \) — аргументы.

1. Найдем углы:

   • \( \theta_1 = \frac{5\pi}{6} \)
   • \( \theta_2 = \frac{2\pi}{3} \)

2. Теперь найдем сумму углов: \[ \theta_1 + \theta_2 = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} \]

Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель: \[ \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} \] Теперь можно сложить: \[ \theta_1 + \theta_2 = \frac{5\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \]

3. Теперь подставляем в формулу: \[ z_1 \cdot z_2 = 1 \cdot 1 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) \]

4. Находим значения косинуса и синуса: \[ \cos \frac{3\pi}{2} = 0\quad \text{и} \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \] Таким образом, \[ z_1 \cdot z_2 = 0 + (-1)i = -i \]

Ответ на задачу а: \(-i\)

Задача б)

Дано: \[ (-1 - \sqrt{3}i)^8 \]

Для решения этой задачи преобразуем комплексное число в тригонометрическую форму.

1. Находим модуль: \[ r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]

2. Находим аргумент: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) \] Поскольку комплексное число находится в третьем квадранте: \[ \theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \]

3. Таким образом, можно записать: \[ -1 - \sqrt{3}i = 2\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right) \]

4. Теперь возведем в степень 8: \[ (-1 - \sqrt{3}i)^8 = 2^8\left(\cos\left(8 \cdot \frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(8 \cdot \frac{4\pi}{3}\right)\right) \] \[ = 256\left(\cos\left(\frac{32\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{32\pi}{3}\right)\right) \]

5. Упрощаем угол \( \frac{32\pi}{3} \): \[ \frac{32\pi}{3} = 10\pi + \frac{2\pi}{3} \] Это эквивалентно \( \frac{2\pi}{3} \) (так как каждый полный круг \( 2\pi \) можно вычесть).

6. Находим косинус и синус: \[ \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

7. Подставляем: \[ 256\left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -128 + 128\sqrt{3}i \]

Ответ на задачу б: \(-128 + 128\sqrt{3}i\)