|z|<1
Чтобы понять неравенство |z| < 1, начнем с определения, что значит |z|.
Модуль комплексного числа:
Модуль (или абсолютное значение) комплексного числа z, записанного в виде z = x + iy, где x и y — действительная и мнимая части соответственно, определяется как:
\[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \] Это значение представляет собой расстояние от точки (x, y) на комплексной плоскости до начала координат (0, 0).Неравенство |z| < 1:
Это неравенство говорит нам о том, что модуль z меньше единицы. То есть: \[ \sqrt{x^2 + y^2} < 1 \]Квадрат обоих сторон:
Чтобы избавиться от корня, мы можем возвести обе стороны неравенства в квадрат. Обратите внимание, что при возведении в квадрат знак неравенства сохраняется, так как обе стороны положительны: \[ x^2 + y^2 < 1^2 \] \[ x^2 + y^2 < 1 \]Геометрическая интерпретация:
Это неравенство описывает круг радиуса 1, центрированный в начале координат (0, 0) на комплексной плоскости (или на обычной плоскости координат). То есть, все точки (x, y), которые удовлетворяют этому неравенству, находятся внутри круга радиуса 1.Результат:
Таким образом, условие |z| < 1 означает, что мы ищем все комплексные числа z, которые находятся внутри круга радиуса 1, не включая его границы.
В заключение, неравенство |z| < 1 описывает множество комплексных чисел, лежащих внутри круга радиуса 1 на комплексной плоскости.
