Функция у = f(х) нечетная и для x > 0 задается формулой f(x) = 1/x - x ^ 2 Найдите значение выражения f(- 1/3) - f(- 3)
Решим задачу шаг за шагом. Мы знаем, что функция \( u = f(x) \) является нечетной. Это означает, что она удовлетворяет следующему условию:
\[ f(-x) = -f(x) \]
Теперь рассмотрим функцию, заданную для \( x > 0 \):
\[ f(x) = \frac{1}{x} - x^2 \]
Задача состоит в том, чтобы найти значение выражения \( f(-\frac{1}{3}) - f(-3) \).
Шаг 1: Найдем \( f(-\frac{1}{3}) \)
Сначала вычислим \( f(-\frac{1}{3}) \). Поскольку функция нечетная, мы можем использовать свойство нечетности:
\[ f(-x) = -f(x) \]
Подставим \( x = \frac{1}{3} \):
\[ f\left(-\frac{1}{3}\right) = -f\left(\frac{1}{3}\right) \]
Теперь нам нужно найти \( f\left(\frac{1}{3}\right) \):
\[ f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{\frac{1}{3}} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \]
Вычислим это:
\[ f\left(\frac{1}{3}\right) = 3 - \frac{1}{9} \]
Чтобы вычесть дроби, преобразуем 3 в дробь с общим знаменателем:
\[ 3 = \frac{27}{9} \]
Теперь:
\[ f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{27}{9} - \frac{1}{9} = \frac{26}{9} \]
Следовательно:
\[ f\left(-\frac{1}{3}\right) = -f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{26}{9} \]
Шаг 2: Найдем \( f(-3) \)
Теперь найдем \( f(-3) \):
\[ f(-3) = -f(3) \]
Найдем \( f(3) \):
\[ f(3) = \frac{1}{3} - 3^2 = \frac{1}{3} - 9 \]
Преобразуем 9 в дробь с общим знаменателем:
\[ 9 = \frac{27}{3} \]
Теперь:
\[ f(3) = \frac{1}{3} - \frac{27}{3} = -\frac{26}{3} \]
Таким образом:
\[ f(-3) = -f(3) = -\left(-\frac{26}{3}\right) = \frac{26}{3} \]
Шаг 3: Найдем значение выражения \( f(-\frac{1}{3}) - f(-3) \)
Теперь подставим найденные значения в выражение:
\[ f\left(-\frac{1}{3}\right) - f(-3) = -\frac{26}{9} - \frac{26}{3} \]
Чтобы вычесть дроби, преобразуем \( \frac{26}{3} \) к общему знаменателю 9:
\[ \frac{26}{3} = \frac{26 \times 3}{3 \times 3} = \frac{78}{9} \]
Теперь у нас есть:
\[ -\frac{26}{9} - \frac{78}{9} = -\frac{26 + 78}{9} = -\frac{104}{9} \]
Таким образом, окончательный ответ:
\[ \boxed{-\frac{104}{9}} \]
