Решим задачу шаг за шагом. Мы знаем, что функция ( u = f(x) ) является нечетной. Это означает, что она удовлетворяет следующему условию:
[
f(-x) = -f(x)
]
Теперь рассмотрим функцию, заданную для ( x > 0 ):
[
f(x) = \frac{1}{x} - x^2
]
Задача состоит в том, чтобы найти значение выражения ( f(-\frac{1}{3}) - f(-3) ).
Шаг 1: Найдем ( f(-\frac{1}{3}) )
Сначала вычислим ( f(-\frac{1}{3}) ). Поскольку функция нечетная, мы можем использовать свойство нечетности:
[
f(-x) = -f(x)
]
Подставим ( x = \frac{1}{3} ):
[
f\left(-\frac{1}{3}\right) = -f\left(\frac{1}{3}\right)
]
Теперь нам нужно найти ( f\left(\frac{1}{3}\right) ):
[
f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{\frac{1}{3}} - \left(\frac{1}{3}\right)^2
]
Вычислим это:
[
f\left(\frac{1}{3}\right) = 3 - \frac{1}{9}
]
Чтобы вычесть дроби, преобразуем 3 в дробь с общим знаменателем:
[
3 = \frac{27}{9}
]
Теперь:
[
f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{27}{9} - \frac{1}{9} = \frac{26}{9}
]
Следовательно:
[
f\left(-\frac{1}{3}\right) = -f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{26}{9}
]
Шаг 2: Найдем ( f(-3) )
Теперь найдем ( f(-3) ):
[
f(-3) = -f(3)
]
Найдем ( f(3) ):
[
f(3) = \frac{1}{3} - 3^2 = \frac{1}{3} - 9
]
Преобразуем 9 в дробь с общим знаменателем:
[
9 = \frac{27}{3}
]
Теперь:
[
f(3) = \frac{1}{3} - \frac{27}{3} = -\frac{26}{3}
]
Таким образом:
[
f(-3) = -f(3) = -\left(-\frac{26}{3}\right) = \frac{26}{3}
]
Шаг 3: Найдем значение выражения ( f(-\frac{1}{3}) - f(-3) )
Теперь подставим найденные значения в выражение:
[
f\left(-\frac{1}{3}\right) - f(-3) = -\frac{26}{9} - \frac{26}{3}
]
Чтобы вычесть дроби, преобразуем ( \frac{26}{3} ) к общему знаменателю 9:
[
\frac{26}{3} = \frac{26 \times 3}{3 \times 3} = \frac{78}{9}
]
Теперь у нас есть:
[
-\frac{26}{9} - \frac{78}{9} = -\frac{26 + 78}{9} = -\frac{104}{9}
]
Таким образом, окончательный ответ:
[
\boxed{-\frac{104}{9}}
]
