Построй график функции { 2 � 2 + 6 � + 3 , � ⩾ − 2 � + 2 , � < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 ​ и определи, при каких значениях � m прямая � = � y=m имеет с графиком ровно две…

Для решения задачи необходимо построить график функции, который состоит из двух частей, а затем определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком функции в ровно двух точках.

1. Запишем функции:

   • Для \( x \geq -2 \): \( y = 2x^2 + 6x + 3 \)
   • Для \( x < -2 \): \( y = x + 2 \)

2. Построим график:

   • Для \( x \geq -2 \): Это парабола, открывающаяся вверх, потому что коэффициент при \( x^2 \) положителен.

     • Находим вершину параболы с помощью формулы \( x_v = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 2 \) и \( b = 6 \): \[ x_v = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]
     • Вычислим \( y \) в этой точке: \[ y_v = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 = 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 + 3 = \frac{9}{2} - 9 + 3 = \frac{9}{2} - \frac{18}{2} + \frac{6}{2} = -\frac{3}{2} \] Вершина существует в точке \( \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right) \).

   • Для \( x < -2 \): Это линейная функция с угловым коэффициентом 1 и отображает прямую, проходящую через точку \( (-2, 0) \) (так как \( y = x + 2 \)). В данной области прямая имеет вид: \[ y = x + 2 \]

3. Найдем границы интервалов:

   • Пересечение: Теперь определим, есть ли пересечения между двумя заданными выражениями в точке, где они встречаются: \( x = -2 \).
   • Для функции \( y = 2x^2 + 6x + 3 \): \[ y = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \]
   • Для функции \( y = x + 2 \): \[ y = -2 + 2 = 0 \]

   Итак, в точке \( x = -2 \) значения функций различны: \( y = -1 \) и \( y = 0 \). График будет непрерывным.

4. Условия для \( y = m \):

   • Рассмотрим пересечение прямой \( y = m \):

     • Для линейной части \( x+2 \):

       • \( m = x + 2 \Rightarrow x = m - 2 \)

     • Для параболы \( 2x^2 + 6x + 3 = m \):

       • \( 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \)
       • Используем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m \]

5. Решение для двух точек пересечения:

   • Условия для ровно двух пересечений: \[ D = 0 \Rightarrow 12 + 8m = 0 \Rightarrow 8m = -12 \Rightarrow m = -\frac{3}{2} \]

6. Проверка на пересечении:

   • Для \( m = -\frac{3}{2} \):
     • Линейная часть: \( y = -\frac{3}{2} \) пересекает однажды на \( x = -\frac{3}{2} - 2 = -\frac{7}{2} \)
     • Параболическая часть: равенство \( 2x^2 + 6x + 3 = -\frac{3}{2} \) решается и дает двумя различными полученными \( x \).

Таким образом, итоговое решение задачи: \[ -\frac{3}{2}( -\infty ; -2) \]