Докажите что при осевой симметрии плоскости: 1. прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии 2. прямая, перпендикулярна к оси симметрии, отображается на себя

Чтобы доказать указанные свойства осевой симметрии, давайте вспомним, что такое осевая симметрия. Осевая симметрия – это преобразование, при котором каждый пункт плоскости отображается в другой пункт, находящийся на равном расстоянии от некоторой оси (симметрии). Мы будем рассматривать ось симметрии как прямую на плоскости. ### 1. Прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии **Доказательство:** 1. Обозначим ось симметрии как прямую \( L \). Пусть \( L \) — вертикальная прямая, для простоты объяснения. Тогда уравнение этой прямой может быть записано как \( x = 0 \). 2. Рассмотрим какую-либо прямую \( m \), параллельную оси симметрии \( L \). Это означает, что прямая \( m \) будет иметь ту же наклон и не пересекать ось \( L \). Например, уравнение прямой \( m \) может быть записано как \( x = k \), где \( k \) – некоторое постоянное значение. 3. Теперь применяем осевую симметрию относительно прямой \( L \). Для точки \( P(k, y) \) на прямой \( m \) её образ \( P' \) при осевой симметрии будет находиться на расстоянии \( k \) от оси \( L \) в противоположном направлении. Поэтому координаты \( P' \) будут равны \( P'(-k, y) \). 4. Чтобы получить уравнение полученной прямой после симметрии, нам нужно рассмотреть все точки из начальной прямой \( m \). Так как все точки сохраняют расстояние до оси симметрии и у них одинаковое направление (параллельность с осью), получим, что прямая \( m' \) после симметрии также будет иметь уравнение вида \( x = -k \), что также является параллельной прямой оси \( L \). Таким образом, прямая \( m \) отображается в прямую \( m' \), и обе они находятся в одном и том же направлении относительно оси \( L \). ### 2. Прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя **Доказательство:** 1. Снова будем использовать ось симметрии \( L \), предположим, что она вертикальная прямая \( x = 0 \). 2. Рассмотрим прямую \( n \), перпендикулярную оси симметрии \( L \). Например, такая прямая может иметь уравнение вида \( x = k \), где \( k \) – некоторый постоянный параметр. При этом прямая \( n \) будет вертикальной. 3. Теперь применим осевую симметрию. Точка \( P(k, y) \) на прямой \( n \) будет отображена в точку \( P'(-k, y) \) при осевой симметрии относительно вертикальной прямой \( x = 0 \). 4. Однако здесь нужно учесть, что перпендикулярные прямые наклонены и отражение не будет изменять их наклон. Поскольку мы ориентированы на уравнение, чтобы получить новую прямую, мы видим, что по горизонтали её координаты также изменяются в ровном соотношении. Однако если прямая была параллельна другим перпендикулярным к оси линейным распределениям, они будут находиться в том же наклоне и передвинуто в симметрии. 5. В результате прямые \( n \) и \( n' \) совпадают: их уравнение остается прежним, поскольку отражение происходит по отношению к точке на линии, которая отразилась вниз на прямую, тем самым оставаясь там же. Эти выводы показывают, что прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на саму себя. В итоге, мы доказали оба пункта, касающиеся осевой симметрии: 1. Прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии. 2. Прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.