Решить
Для определения того, что вектор перпендикулярен плоскости, мы используем критерий того, что вектор нормали плоскости должен быть перпендикулярен каждому вектору, лежащему в этой плоскости.
Давайте разберемся с заданием:
Определение векторов.
- У нас есть две точки плоскости \(\triangle AOC\): \(A(0, 4, 0)\), \(O(0, 0, 0)\), \(C(4, 0, 0)\).
- Векторы, лежащие в плоскости: \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\).
Нахождение векторов \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\):
- \(\vec{AO} = O - A = (0 - 0, 0 - 4, 0 - 0) = (0, -4, 0)\).
- \(\vec{OC} = C - O = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (4, 0, 0)\).
Нахождение вектора нормали к плоскости:
- Используем векторное произведение \(\vec{AO} \times \(\vec{OC}\) для нахождения нормали.
- \(\vec{n} = \vec{AO} \times \vec{OC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -4 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 + 16) = (0, 0, 16)\).
Проверка перпендикулярности вектора \(\vec{v_P}\)(например, вектор \(\vec{BC}\)) с нормалью \(\vec{n}\):
- \(\vec{v_P}\) из условия — это вектор \(\vec{BC}\): \(B(2, 2, 0)\), \(C(4, 0, 0)\).
- \(\vec{BC} = C - B = (4 - 2, 0 - 2, 0 - 0) = (2, -2, 0)\).
Проверка скалярного произведения:
- \(\vec{n} \cdot \vec{BC} = (0, 0, 16) \cdot (2, -2, 0) = 0 \cdot 2 + 0 \cdot -2 + 16 \cdot 0 = 0\).
Поскольку скалярное произведение равно нулю, вектор \(\vec{BC}\) перпендикулярен плоскости \(\triangle AOC\).
Здесь представляешь вектор, который проверяется на перпендикулярность. Если это соответствует условиям задачи, вектор \(\vec{BC}\) подтверждён как перпендикулярный плоскости \(\triangle AOC\).
