Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся законом преломления света (закон Снеллиуса), который гласит, что:
[ n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) ]
где:
- ( n_1 ) — показатель преломления первой среды (в данном случае — воздух, для которого ( n_1 \approx 1 )),
- ( \theta_1 ) — угол падения (в данном случае 60˚),
- ( n_2 ) — показатель преломления второй среды (в данном случае — стекло),
- ( \theta_2 ) — угол преломления (в данном случае 58˚).
Шаг 1: Найти показатель преломления стекла
Подставим известные значения в уравнение:
[ 1 \cdot \sin(60˚) = n_2 \cdot \sin(58˚) ]
Вспомним, что ( \sin(60˚) = \frac{\sqrt{3}}{2} ) и ( \sin(58˚) ) можно найти или приблизительно оценить. Используя калькулятор, мы видим, что:
[ \sin(58˚) \approx 0.8480 ]
Теперь подставим эти значения в уравнение:
[ \frac{\sqrt{3}}{2} = n_2 \cdot 0.8480 ]
Теперь найдем ( n_2 ):
[ n_2 = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.8480} ]
Вычислим примерно:
[ n_2 \approx \frac{0.8660}{0.8480} \approx 1.021 ]
Таким образом, показатель преломления стекла:
[
n_2 \approx 1.0 (округленно до десятых - 1.0)
]
Шаг 2: Найти минимальный угол падения для полного отражения
Для полного внутреннего отражения необходимо, чтобы угол падения был больше критического угла. Критический угол можно найти по формуле:
[
\sin(\theta_{крит}) = \frac{n_1}{n_2}
]
Подставим значения:
[
\sin(\theta_{крит}) = \frac{1}{1.021} \approx 0.978
]
Теперь найдём критический угол:
[
\theta_{крит} = \arcsin(0.978) \approx 78.5˚
]
Это значение нормировано относительно границы раздела. Однако так как речь идет о преломлении, то мы ищем угол относительно вертикали, который будет равен:
[
90˚ - \theta_{крит} \approx 90˚ - 78.5˚ = 11.5˚
]
Таким образом, минимальный угол, под которым нужно направить лазерный луч к стенке трубы, чтобы он полностью отразился, равен:
[
\theta_{min} \approx 11.5˚ (округленно до десятых - 11.5)
]
Ответ
- Показатель преломления стекла: 1.0
- Минимальный угол, под которым необходимо направить лазерный луч: 11.5˚
