Игральный кубик бросили два раза. Событие
A
A — «при втором броске выпало меньше очков», событие
B
B — «сумма выпавших очков больше
5
5». Составь таблицу случайного эксперимента и найди
P
(
A
∩
B
)
P(A∩B).
Запиши ответ в виде обыкновенной несократимой дроби, используя символ /. Например,
1
3
3
1
как
1
/
3
1/3.
P
(
A
∩
B
)
=
P(A∩B)=
Для решения задачи необходимо проанализировать события, связанные с броском игрального кубика. В данной ситуации мы рассматриваем два броска кубика и события:
- \( A \): «при втором броске выпало меньше очков»
- \( B \): «сумма выпавших очков больше 5»
### Шаг 1: Определим возможные исходы.
При броске одного стандартного игрального кубика может выпасть от 1 до 6 очков. Таким образом, возможные исходы при двух бросках можно записать в виде пар (X, Y), где X — результат первого броска, а Y — результат второго.
Общее число исходов при двух бросках:
- Для первого броска есть 6 вариантов (1, 2, 3, 4, 5, 6).
- Для второго броска также есть 6 вариантов.
Общее число исходов: \( 6 \times 6 = 36 \).
### Шаг 2: Построим таблицу случайного эксперимента.
Мы рассмотрим все возможные пары (X, Y):
| X \ Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|-------|---|---|---|---|---|---|
| **1** | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| **2** | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| **3** | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| **4** | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| **5** | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| **6** | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
### Шаг 3: Определим события \( A \) и \( B \).
**Событие \( A \)**: «При втором броске выпало меньше очков»
- Исходы, когда второй бросок меньше первого:
- (2,1)
- (3,1), (3,2)
- (4,1), (4,2), (4,3)
- (5,1), (5,2), (5,3), (5,4)
- (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)
Подсчитаем:
- Для 1: 0 исходов (нет меньшего)
- Для 2: 1 исход (2, 1)
- Для 3: 2 исхода (3, 1), (3, 2)
- Для 4: 3 исхода (4, 1), (4, 2), (4, 3)
- Для 5: 4 исхода (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)
- Для 6: 5 исходов (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
Итак, событие \( A \) содержит \( 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \) исходов.
**Событие \( B \)**: «Сумма выпавших очков больше 5»
- Исходы, у которых сумма больше 5, можно подсчитать (будет довольно много исходов). Нужно подсчитать все пары (X, Y), где \( X + Y > 5 \).
### Шаг 4: Подсчитаем количество исходов для события \( A \cap B \)
Теперь найдем пересечение \( A \cap B \) — это те исходы, где выполнены оба события:
1. Исходы, удовлетворяющие \( A \) (как мы подсчитали) — это 15.
2. Проверяем их на соответствие \( B \) (сумма больше 5):
- (3,2) - 3 + 2 = 5 (не подходит)
- (4,2) - 4 + 2 = 6 (подходит)
- (4,3) - 4 + 3 = 7 (подходит)
- (5,2) - 5 + 2 = 7 (подходит)
- (5,3) - 5 + 3 = 8 (подходит)
- (5,4) - 5 + 4 = 9 (подходит)
- (6,1) - 6 + 1 = 7 (подходит)
- (6,2) - 6 + 2 = 8 (подходит)
- (6,3) - 6 + 3 = 9 (подходит)
- (6,4) - 6 + 4 = 10 (подходит)
- (6,5) - 6 + 5 = 11 (подходит)
- (5,1) - 5 + 1 = 6 (подходит)
Находим пересечения \( A \cap B \):
- Подходящие исходы: (4,2), (4,3), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (5,1).
Итого, \( P(A \cap B) \) — это 12 исходов, соответствующих обоим событиям.
### Шаг 5: Подсчет вероятности
Общее количество исходов — 36, количество удачных исходов — 12.
Вероятность пересечения:
\[
P(A \cap B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}
\]
Записываем ответ:
\[
P(A \cap B) = \frac{1}{3}
\]
Таким образом, это и есть ответ.
