Реши
Давайте разберемся с задачей.
Мы имеем прямоугольный треугольник, в который вписана окружность. Одна из точек касания окружности делит катет на отрезки длиной 3 см и 9 см. Найдем длины второго катета и гипотенузы.
Шаг 1: Теорема о вписанной окружности
Вписанная окружность в треугольнике касается всех его сторон. Пускай \( a \), \( b \), и \( c \) — стороны треугольника, где \( c \) — гипотенуза. \( p \) — полупериметр треугольника, тогда:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]
Свойство: длины отрезков от каждой вершины до точек касания на противоположных сторонах равны полупериметру минус эта сторона:
- \( a_1 = p - a \)
- \( b_1 = p - b \)
- \( c_1 = p - c \)
Шаг 2: Найдем \( a \), \( b \), и \( c \)
Имеем отрезки на одном катете: \( 3 \) см и \( 9 \) см. Получается, что:
\[ a_1 + b_1 = 3 + 9 = 12 \]
С учетом равенств:
\[ p - a + p - b = 12 \]
\[ 2p - a - b = 12 \]
Поскольку \( p = \frac{a + b + c}{2} \):
Подставляем \( 2p = a + b + c \) в уравнение:
\[ a + b + c - a - b = 12 \]
\[ c = 12 \]
Шаг 3: Найдем длины катетов
Подставляем \( c = 12 \) в полупериметр:
\[ p = \frac{a + b + 12}{2} \]
И у нас есть:
\[ p - a = 3 \quad \text{и} \quad p - b = 9 \]
Решаем систему:
- \( p - a = 3 \)
- \( p - b = 9 \)
Решив её:
- \( a = p - 3 \)
- \( b = p - 9 \)
Теперь подставим в формулу:
\[ a + b = 2p - 12 \]
Теперь найдем \( p \):
Подставим найденные выражения для \( a \) и \( b \):
\[ (p - 3) + (p - 9) = 2p - 12 \]
Проверим:
Если \( 2p - (p - 3 + p - 9) = 12 \), то после упрощения:
\[ 12 = 12 \quad \text{(всё подходит)} \]
Таким образом:
- Длины катетов: \( a = 9 \), \( b = 3 \)
- Гипотенуза: \( c = 12 \)
Ответ
Другой катет: 9 см, гипотенуза: 12 см.
