Реши

Давайте разберемся с задачей. Мы имеем прямоугольный треугольник, в который вписана окружность. Одна из точек касания окружности делит катет на отрезки длиной 3 см и 9 см. Найдем длины второго катета и гипотенузы. ### Шаг 1: Теорема о вписанной окружности Вписанная окружность в треугольнике касается всех его сторон. Пускай \( a \), \( b \), и \( c \) — стороны треугольника, где \( c \) — гипотенуза. \( p \) — полупериметр треугольника, тогда: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] Свойство: длины отрезков от каждой вершины до точек касания на противоположных сторонах равны полупериметру минус эта сторона: - \( a_1 = p - a \) - \( b_1 = p - b \) - \( c_1 = p - c \) ### Шаг 2: Найдем \( a \), \( b \), и \( c \) Имеем отрезки на одном катете: \( 3 \) см и \( 9 \) см. Получается, что: \[ a_1 + b_1 = 3 + 9 = 12 \] С учетом равенств: \[ p - a + p - b = 12 \] \[ 2p - a - b = 12 \] Поскольку \( p = \frac{a + b + c}{2} \): Подставляем \( 2p = a + b + c \) в уравнение: \[ a + b + c - a - b = 12 \] \[ c = 12 \] ### Шаг 3: Найдем длины катетов Подставляем \( c = 12 \) в полупериметр: \[ p = \frac{a + b + 12}{2} \] И у нас есть: \[ p - a = 3 \quad \text{и} \quad p - b = 9 \] Решаем систему: 1. \( p - a = 3 \) 2. \( p - b = 9 \) Решив её: 1. \( a = p - 3 \) 2. \( b = p - 9 \) Теперь подставим в формулу: \[ a + b = 2p - 12 \] Теперь найдем \( p \): Подставим найденные выражения для \( a \) и \( b \): \[ (p - 3) + (p - 9) = 2p - 12 \] Проверим: Если \( 2p - (p - 3 + p - 9) = 12 \), то после упрощения: \[ 12 = 12 \quad \text{(всё подходит)} \] Таким образом: - Длины катетов: \( a = 9 \), \( b = 3 \) - Гипотенуза: \( c = 12 \) ### Ответ Другой катет: 9 см, гипотенуза: 12 см.