Для решения этой задачи мы будем работать с квадратным листом металла размером 3 м на 3 м. Нам нужно вырезать из углов квадрата одинаковые квадраты, чтобы сформировать коробку. Давайте начнем по шагам.
Шаг 1: Определение переменных
Обозначим размер стороны вырезаемого квадрата как ( x ) метров. После вырезания углов мы будем загибать стороны вверх, чтобы создать коробку.
Шаг 2: Определение размеров коробки
После вырезания квадратов из углов размер стороны основания коробки станет:
[
\text{Длина} = 3 - 2x
]
[
\text{Ширина} = 3 - 2x
]
При этом высота коробки равна ( x ) (так как высота образуется из загнутых краёв).
Шаг 3: Выражение для объема
Объем ( V ) коробки можно выразить как произведение длины, ширины и высоты:
[
V = \text{Длина} \times \text{Ширина} \times \text{Высота} = (3 - 2x)(3 - 2x)x
]
Теперь можно упростить это выражение:
[
V = (3 - 2x)^2 \cdot x
]
[
V = (9 - 12x + 4x^2)x
]
[
V = 4x^3 - 12x^2 + 9x
]
Шаг 4: Находим максимум объема
Для того чтобы найти, при каких значениях ( x ) объем будет максимальным, необходимо взять производную объема и приравнять её к нулю:
[
\frac{dV}{dx} = 12x^2 - 24x + 9
]
Теперь приравняем производную к нулю и решим квадратное уравнение:
[
12x^2 - 24x + 9 = 0
]
Шаг 5: Используем дискриминант для решения уравнения
Для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) дискриминант ( D = b^2 - 4ac ):
[
D = (-24)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 9 = 576 - 432 = 144
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 \pm 12}{24}
]
Таким образом, корни будут:
[
x_1 = \frac{36}{24} = 1.5, \quad x_2 = \frac{12}{24} = 0.5
]
Шаг 6: Проверка значимости корней
Теперь нужно проверить, какой из корней дает максимальный объем. Мы проверим объем для ( x = 0.5 ) и ( x = 1.5 ):
Для ( x = 0.5 ):
[
V = 4(0.5)^3 - 12(0.5)^2 + 9(0.5) = 4(0.125) - 12(0.25) + 4.5
]
[
V = 0.5 - 3 + 4.5 = 2.0 , \text{м}^3
]
Для ( x = 1.5 ):
[
V = 4(1.5)^3 - 12(1.5)^2 + 9(1.5) = 4(3.375) - 12(2.25) + 13.5
]
[
V = 13.5 - 27 + 13.5 = 0 , \text{м}^3
]
Итог
最大альный объем достигается при размере вырезаемого квадрата ( x = 0.5 , \text{м} ) и составляет ( 2.0 , \text{м}^3 ).
Таким образом, чтобы объем коробки был наибольшим, квадратные вырезы должны быть размером 0.5 м на 0.5 м.
