найти интеграл и параболлу y=x4; y=0; x=-1; x=1
Давай разберем задачу по шагам. У нас есть функций \(y = x^4\) и линия \(y = 0\) (ось абсцисс), а также заданные границы по \(x\): от \(-1\) до \(1\). Мы хотим найти определенный интеграл этой функции и область, заключённую между ней и осью \(x\).
Шаг 1: Построим график
Функция \(y = x^4\) — это парабола, которая направлена вверх. На графике видны следующие вещи:
- В точке \(x = 0\) функция достигает своего минимума, равного \(y = 0\).
- При \(x = -1\) и \(x = 1\) значение функции будет равно \(y = 1\).
График функции будет выглядеть как «U», который находит свои минимальные значения в точке (0, 0).
Шаг 2: Запишем определенный интеграл
Чтобы найти площадь между графиком \(y = x^4\) и осью \(x\) от \(-1\) до \(1\), мы записываем интеграл:
\[ \int_{-1}^{1} x^4 \, dx. \]
Шаг 3: Вычислим интеграл
Для этого сначала найдем неопределённый интеграл функции \(x^4\):
\[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C, \] где \(C\) — это константа интегрирования.
Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от \(-1\) до \(1\):
\[ \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1}. \]
Шаг 4: Подставляем границы интегрирования
Теперь подставим верхнюю и нижнюю границы:
- Подставим \(x = 1\):
\[ \frac{1^5}{5} = \frac{1}{5}. \]
- Подставим \(x = -1\):
\[ \frac{(-1)^5}{5} = \frac{-1}{5}. \]
Таким образом, у нас получается:
\[ \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \frac{1}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}. \]
Итог: Ответ
Площадь между графиком функции \(y = x^4\) и осью \(x\) от \(-1\) до \(1\) равна \(\frac{2}{5}\).
Таким образом, мы нашли интеграл функции и определили область под графиком. Если будут какие-либо вопросы, не стесняйся задавать!
