Вдоль координатной прямой прыгает заяц. За один прыжок он может переместиться на единичный отрезок в любую сторону. Сколько существует различных точек, на которых заяц может оказаться через 4 прыжка?

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом. 1. **Понимание задачи**: У нас есть заяц, который может перемещаться на 1 единичный отрезок в любую сторону (влево или вправо) за один прыжок. Нам нужно выяснить, сколько различных точек он может достичь после 4 прыжков. 2. **Моделирование прыжков**: После каждого прыжка заяц может находиться как на положительной, так и на отрицательной позициях относительно начальной точки (которая может быть обозначена как 0). Мы можем положиться на количество шагов вправо и влево. 3. **Количество шагов**: - Если заяц совершит \( x \) прыжков вправо и \( y \) прыжков влево, то после 4 прыжков выполняется следующее условие: \[ x + y = 4 \] Положение зайца после 4 прыжков будет: \[ x - y = \text{положение} \] 4. **Переменные**: По выражению \( x + y = 4 \) мы можем выразить \( y \): \[ y = 4 - x \] Подставив это в уравнение для положения, получаем: \[ \text{положение} = x - (4 - x) = 2x - 4 \] 5. **Определение возможных значений \( x \)**: - Значения \( x \) могут быть от 0 до 4 (целые неотрицательные числа), так как заяц за 4 прыжка не может прыгнуть более 4 раз в одну сторону. - Таким образом, возможные значения \( x \) — это 0, 1, 2, 3 и 4. 6. **Подсчет итоговых позиций**: - Если \( x = 0 \): Положение = \( 2 \cdot 0 - 4 = -4 \) - Если \( x = 1 \): Положение = \( 2 \cdot 1 - 4 = -2 \) - Если \( x = 2 \): Положение = \( 2 \cdot 2 - 4 = 0 \) - Если \( x = 3 \): Положение = \( 2 \cdot 3 - 4 = 2 \) - Если \( x = 4 \): Положение = \( 2 \cdot 4 - 4 = 4 \) 7. **Собираем все возможные положения**: Мы получили следующие возможные конечные положения заяца: - \( -4 \) - \( -2 \) - \( 0 \) - \( 2 \) - \( 4 \) 8. **Уникальные точки**: Все позиции уникальны, и их всего 5. Таким образом, **ответ** на вопрос, сколько существует различных точек, на которых заяц может оказаться через 4 прыжка, равен **5**.