найди область определения для функции you=√x²(x-4)

Чтобы найти область определения функции \( y = \sqrt{x^2(x - 4)} \), давайте сначала разберемся с тем, что означает "область определения".

Область определения функции — это множество всех значений \( x \), для которых функция определена и принимает реальные значения. В данном случае функция включает квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным (то есть больше либо равно нуля).

Шаг 1: Найдем условия для подкоренного выражения

Подкоренное выражение: \[ x^2(x - 4) \geq 0 \]

Шаг 2: Проанализируем выражение \( x^2(x - 4) \)

1. Производим разложение:

   • \( x^2 \) всегда неотрицательно, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным (то есть \( x^2 \geq 0 \)).
   • Полином \( (x - 4) \) будет менять знак в зависимости от значения \( x \).

2. Определим нули:

   • \( x^2 = 0 \) при \( x = 0 \).
   • \( x - 4 = 0 \) при \( x = 4 \).

Таким образом, нули подкоренного выражения находятся в точках \( x = 0 \) и \( x = 4 \).

Шаг 3: Определим знаки выражения \( x^2(x - 4) \)

Разделим числовую прямую на интервалы на основе найденных нулей:

• \( (-\infty, 0) \)
• \( [0, 4] \)
• \( (4, +\infty) \)

Теперь исследуем знак выражения на каждом из интервалов.

1. Интервал \( (-\infty, 0) \):

   • \( x^2 > 0 \) (все квадраты положительные),
   • \( x - 4 < 0 \) (все числа меньше 4),
   • Следовательно, \( x^2(x - 4) < 0 \).

2. Интервал \( [0, 4] \):

   • \( x^2 \geq 0 \) (все числа положительные или равные нулю),
   • \( x - 4 \leq 0 \) (до 4 - отрицательные),
   • Следовательно, \( x^2(x - 4) \leq 0 \). Здесь значит равен нулю в точках \( x = 0 \) и \( x = 4 \).

3. Интервал \( (4, +\infty) \):

   • \( x^2 > 0 \) (все положительное),
   • \( x - 4 > 0 \) (все больше 4),
   • Следовательно, \( x^2(x - 4) > 0 \).

Шаг 4: Итоги

Теперь мы знаем, что:

• \( x^2(x - 4) \geq 0 \) на интервалах:
  • \( [0, 4] \) (включая нули) и на \( (4, +\infty) \).

Следовательно, область определения функции \( y = \sqrt{x^2(x - 4)} \) будет:

\[ D = [0, 4] \cup (4, +\infty) \]

Таким образом, функция определена для всех \( x \) в этом диапазоне.