Найди область определения для функции you=√x²(x-4)

Чтобы найти область определения функции \( y = \sqrt{x^2(x - 4)} \), давайте сначала разберемся с тем, что означает "область определения". Область определения функции — это множество всех значений \( x \), для которых функция определена и принимает реальные значения. В данном случае функция включает квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным (то есть больше либо равно нуля). ### Шаг 1: Найдем условия для подкоренного выражения Подкоренное выражение: \[ x^2(x - 4) \geq 0 \] ### Шаг 2: Проанализируем выражение \( x^2(x - 4) \) 1. **Производим разложение:** - \( x^2 \) всегда неотрицательно, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным (то есть \( x^2 \geq 0 \)). - Полином \( (x - 4) \) будет менять знак в зависимости от значения \( x \). 2. **Определим нули:** - \( x^2 = 0 \) при \( x = 0 \). - \( x - 4 = 0 \) при \( x = 4 \). Таким образом, нули подкоренного выражения находятся в точках \( x = 0 \) и \( x = 4 \). ### Шаг 3: Определим знаки выражения \( x^2(x - 4) \) Разделим числовую прямую на интервалы на основе найденных нулей: - \( (-\infty, 0) \) - \( [0, 4] \) - \( (4, +\infty) \) Теперь исследуем знак выражения на каждом из интервалов. 1. **Интервал \( (-\infty, 0) \):** - \( x^2 > 0 \) (все квадраты положительные), - \( x - 4 < 0 \) (все числа меньше 4), - Следовательно, \( x^2(x - 4) < 0 \). 2. **Интервал \( [0, 4] \):** - \( x^2 \geq 0 \) (все числа положительные или равные нулю), - \( x - 4 \leq 0 \) (до 4 - отрицательные), - Следовательно, \( x^2(x - 4) \leq 0 \). Здесь значит равен нулю в точках \( x = 0 \) и \( x = 4 \). 3. **Интервал \( (4, +\infty) \):** - \( x^2 > 0 \) (все положительное), - \( x - 4 > 0 \) (все больше 4), - Следовательно, \( x^2(x - 4) > 0 \). ### Шаг 4: Итоги Теперь мы знаем, что: - \( x^2(x - 4) \geq 0 \) на интервалах: - \( [0, 4] \) (включая нули) и на \( (4, +\infty) \). Следовательно, область определения функции \( y = \sqrt{x^2(x - 4)} \) будет: \[ D = [0, 4] \cup (4, +\infty) \] Таким образом, функция определена для всех \( x \) в этом диапазоне.