Решите, используя значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30,45 и 60 градусов

Для решения задач, связанных с треугольниками и углами, нам понадобятся значения синуса, косинуса и тангенса для углов \(30^\circ\), \(45^\circ\) и \(60^\circ\). ### Значения тригонометрических функций: - \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) - \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\) - \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(\tan 45^\circ = 1\) - \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) - \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) Теперь решим каждую задачу по очереди. ### Задача №4 Для треугольника с углом \(60^\circ\), гипотенуза равна \(2\sqrt{3}\). Найдем длину противолежащего катета (катет напротив угла \(60^\circ\)). Используем \(\sin 60^\circ\): \[ \sin 60^\circ = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{Противолежащий катет}}{2\sqrt{3}} \] Умножим обе стороны на \(2\sqrt{3}\): \[ \text{Противолежащий катет} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\sqrt{3} = 3 \] ### Задача №5 Для треугольника с углом \(30^\circ\), противолежащий катет равен \(\sqrt{3}\). Найдем гипотенузу. Используем \(\sin 30^\circ\): \[ \sin 30^\circ = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{\text{Гипотенуза}} \] Умножим обе стороны на гипотенузу и затем на 2: \[ \text{Гипотенуза} = \sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3} \] ### Задача №6 Для треугольника с углом \(30^\circ\), катет рядом с углом равен \(5\). Найдем гипотенузу. Используем \(\cos 30^\circ\): \[ \cos 30^\circ = \frac{\text{Прилежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{\text{Гипотенуза}} \] Умножим обе стороны на гипотенузу и затем разделим на \(\sqrt{3}/2\): \[ \text{Гипотенуза} = \frac{5 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \] Для более удобной записи можно домножить на \(\sqrt{3}/\sqrt{3}\): \[ \text{Гипотенуза} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \] Таким образом, мы нашли недостающие стороны в треугольниках.