Решите, используя значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30,45 и 60 градусов
Для решения задач, связанных с треугольниками и углами, нам понадобятся значения синуса, косинуса и тангенса для углов \(30^\circ\), \(45^\circ\) и \(60^\circ\).
Значения тригонометрических функций:
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\tan 45^\circ = 1\)
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
\(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)
Теперь решим каждую задачу по очереди.
Задача №4
Для треугольника с углом \(60^\circ\), гипотенуза равна \(2\sqrt{3}\). Найдем длину противолежащего катета (катет напротив угла \(60^\circ\)).
Используем \(\sin 60^\circ\):
\[ \sin 60^\circ = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{Противолежащий катет}}{2\sqrt{3}} \]
Умножим обе стороны на \(2\sqrt{3}\):
\[ \text{Противолежащий катет} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\sqrt{3} = 3 \]
Задача №5
Для треугольника с углом \(30^\circ\), противолежащий катет равен \(\sqrt{3}\). Найдем гипотенузу.
Используем \(\sin 30^\circ\):
\[ \sin 30^\circ = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} \]
\[ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{\text{Гипотенуза}} \]
Умножим обе стороны на гипотенузу и затем на 2:
\[ \text{Гипотенуза} = \sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3} \]
Задача №6
Для треугольника с углом \(30^\circ\), катет рядом с углом равен \(5\). Найдем гипотенузу.
Используем \(\cos 30^\circ\):
\[ \cos 30^\circ = \frac{\text{Прилежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{\text{Гипотенуза}} \]
Умножим обе стороны на гипотенузу и затем разделим на \(\sqrt{3}/2\):
\[ \text{Гипотенуза} = \frac{5 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \]
Для более удобной записи можно домножить на \(\sqrt{3}/\sqrt{3}\):
\[ \text{Гипотенуза} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \]
Таким образом, мы нашли недостающие стороны в треугольниках.
