Для решения данной задачи воспользуемся законами плавания и приведем все необходимые шаги.
Дано:
- Объем шара ( V = 0.5 , \text{м}^3 )
- Масса ареометра ( m_{\text{ар}} = 200 , \text{г} = 0.2 , \text{кг} )
- Плотность воздуха ( \rho_{\text{воздуха}} = 1.2 , \text{кг/м}^3 )
Необходимо найти:
- Плотность газа внутри шара ( \rho_{\text{газа}} )
Шаг 1: Определить силу Архимеда
Сила Архимеда ( ( F_A ) ) на шар определяется по формуле:
[
F_A = V \cdot \rho_{\text{воздуха}} \cdot g
]
где:
- ( V ) - объем шара,
- ( \rho_{\text{воздуха}} ) - плотность воздуха,
- ( g ) - ускорение свободного падения (принимаем ( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 )).
Подставляем значения:
[
F_A = 0.5 , \text{м}^3 \cdot 1.2 , \text{кг/м}^3 \cdot 9.81 , \text{м/с}^2
]
Шаг 2: Вычислить силу Архимеда
Сначала найдем ( F_A ):
[
F_A = 0.5 \cdot 1.2 \cdot 9.81 \approx 5.886 , \text{Н}
]
Шаг 3: Определить общую силу, действующую на шар
Общая сила, действующая на шар, равна весу шара с газом и ареометром:
[
F_{\text{общ}} = (V \cdot \rho_{\text{газа}} + m_{\text{ар}}) \cdot g
]
Находим вес шара:
[
F_{\text{общ}} = (0.5 \cdot \rho_{\text{газа}} + 0.2) \cdot 9.81
]
Шаг 4: Условие плавания
При условии равновесия (шар поднялся и стоит на месте), сила Архимеда равна общей силе:
[
F_A = F_{\text{общ}}
]
Подставим выражения для сил:
[
5.886 = (0.5 \cdot \rho_{\text{газа}} + 0.2) \cdot 9.81
]
Шаг 5: Разрешить уравнение относительно плотности газа
Сначала упростим уравнение:
[
5.886 = (0.5 \cdot \rho_{\text{газа}} + 0.2) \cdot 9.81
]
Разделим обе стороны на ( 9.81 ):
[
\frac{5.886}{9.81} = 0.5 \cdot \rho_{\text{газа}} + 0.2
]
Вычисляем ( \frac{5.886}{9.81} ):
[
0.599 = 0.5 \cdot \rho_{\text{газа}} + 0.2
]
Теперь решим уравнение:
[
0.5 \cdot \rho_{\text{газа}} = 0.599 - 0.2
]
[
0.5 \cdot \rho_{\text{газа}} = 0.399
]
[
\rho_{\text{газа}} = \frac{0.399}{0.5} = 0.798 , \text{кг/м}^3
]
Ответ:
Плотность газа внутри шара составила ( \rho_{\text{газа}} \approx 0.798 , \text{кг/м}^3 ).
