Чтобы решить задачу о вычислении длины дуги окружности и площади кругового сектора, следуем пошагово.
1. Вычисление длины дуги окружности
Формула для вычисления длины дуги окружности (L) с радиусом R и углом в градусах Θ выглядит так:
[ L = \frac{\Theta}{360^\circ} \cdot 2\pi R ]
где:
- ( \Theta ) — градусная мера дуги,
- ( R ) — радиус окружности,
- ( \pi ) — математическая константа, примерно равная 3.14.
В нашем случае:
- ( R = 6 ) см,
- ( \Theta = 80^\circ ).
Теперь подставим значения в формулу:
[ L = \frac{80}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 ]
Шаги расчета:
Вычисляем ( \frac{80}{360} ):
[ \frac{80}{360} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} ]
Вычисляем ( 2\pi \cdot 6 ):
[ 2\pi \cdot 6 \approx 12\pi ]
Теперь подставим всё в формулу:
[ L = \frac{2}{9} \cdot 12\pi = \frac{24\pi}{9} = \frac{8\pi}{3} ]
Если необходимо получить численное значение, то:
[ L \approx \frac{8 \cdot 3.14}{3} \approx \frac{25.12}{3} \approx 8.37 \text{ см} ]
Ответ:
Длина дуги окружности составляет ( \frac{8\pi}{3} ) см или примерно 8.37 см.
2. Вычисление площади кругового сектора
Формула для вычисления площади кругового сектора (S) с радиусом R и углом в градусах Θ:
[ S = \frac{\Theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 ]
Где:
- ( R = 6 ) см,
- ( \Theta = 80^\circ ).
Теперь подставим значения в формулу:
[ S = \frac{80}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 ]
Шаги расчета:
Вычисляем ( 6^2 ):
[ 6^2 = 36 ]
Подставляем в формулу:
[ S = \frac{80}{360} \cdot \pi \cdot 36 ]
Упрощаем ( \frac{80}{360} ):
[ \frac{80}{360} = \frac{2}{9} ]
Теперь подставим:
[ S = \frac{2}{9} \cdot \pi \cdot 36 = \frac{72\pi}{9} = 8\pi ]
Численное значение:
[ S \approx 8 \cdot 3.14 \approx 25.12 \text{ см}^2 ]
Ответ:
Площадь соответствующего кругового сектора составляет ( 8\pi ) см² или примерно 25.12 см².
Таким образом, вы нашли как длину дуги, так и площадь кругового сектора, используя формулы и подставляя заданные параметры.
